Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U
0
1
(−x)
= −U
0
2
(
x),
U
0
2
(l + x) = −U
0
1
(l − x).
Откуда
U
1
(−x) = U
2
(x),
U
2
(l + x) = U
1
(l − x).
Поэтому U
2
(x + at) = U
2
(l + x + at − l) = U
1
(2l − x − at). Таким
образом, обратная волна U
2
(x + at) есть прямая волна, вышедшая из
точки M
0
2
(2l − x − at) ( рис. 10). Значит, действие свободного конца
x = l свелось к отражению волны смещения без перемены знака и с
сохранением абсолютной величины смещения. Отсюда на основании
формулы (5) имеем
U(x, t) = U
1
(x − at) + U
2
(x + at) = U
1
(x − at) + U
1
(2l − x − at) =
= ϕ(x − at)/2 − Ψ(x − at) + ϕ(2l − x − at)/2 − Ψ(2l − x − at) =
= [ϕ(x − at) + ϕ(2l − x − at)]/2 −
1
2a
Z
x−at
x
0
ψ(α)dα −
1
2a
Z
2l−x−at
x
0
ψ(α)dα − C
1
,
(13)
г
де C
1
= 2C
.
Пусть точка (x, t) лежит в области III (рис. 11). В данном случае
имеем: действие свободного конца x = 0 сводится к отражению волны
смещения от этого конца
U(x, t) = U
1
(x − at) + U
2
(x + at) = U
2
(−(x − at)) + U
2
(x + at) =
= ϕ(−x + at)/2 + Ψ(−x + at) + ϕ(x + at)/2 + Ψ(x + at) =
= [ϕ(x + at) + ϕ(−x + at)]/2 +
1
2a
Z
−x+at
x
0
ψ(α)dα
+
1
2a
Z
x+at
x
0
ψ(α)dα + C
1
,
г
де C
1
= 2
C.
Для точек, лежащих в областях IV (рис. 12), V (рис. 13) , V I
(рис. 14) соответственно, имеем
U(x, t) = [ϕ(−x + at) + ϕ(2l − x − at)]/2 −
1
2a
Z
2l−x−at
−x+at
ψ(α)dα
, (x,
t) ∈ IV.
U(x, t) = [ϕ(2l + x − at) + ϕ(2l − x − at)]/2 −
−
1
2a
Z
2l+x−at
x
0
ψ(α)dα −
−
1
2a
Z
2l−x−at
x
0
ψ(α)dα − C
1
, (x,
t) ∈ V,
65
                                 U10 (−x) = −U20 (x),
                             U20 (l + x) = −U10 (l − x).
Откуда

                            U1 (−x) = U2 (x),
                         U2 (l + x) = U1 (l − x).
Поэтому U2 (x + at) = U2 (l + x + at − l) = U1 (2l − x − at). Таким
образом, обратная волна U2 (x + at) есть прямая волна, вышедшая из
точки M20 (2l − x − at) ( рис. 10). Значит, действие свободного конца
x = l свелось к отражению волны смещения без перемены знака и с
сохранением абсолютной величины смещения. Отсюда на основании
формулы (5) имеем
         U (x, t) = U1 (x − at) + U2 (x + at) = U1 (x − at) + U1 (2l − x − at) =
          = ϕ(x − at)/2 − Ψ(x − at) + ϕ(2l − x − at)/2 − Ψ(2l − x − at) = (13)
                                      Z x−at             Z 2l−x−at
                                    1                  1
= [ϕ(x − at) + ϕ(2l − x − at)]/2 −           ψ(α)dα −              ψ(α)dα − C1 ,
                                   2a x0              2a x0
 где C1 = 2C.
      Пусть точка (x, t) лежит в области III (рис. 11). В данном случае
имеем: действие свободного конца x = 0 сводится к отражению волны
смещения от этого конца

 U (x, t) = U1 (x − at) + U2 (x + at) = U2 (−(x − at)) + U2 (x + at) =
          = ϕ(−x + at)/2 + Ψ(−x + at) + ϕ(x + at)/2 + Ψ(x + at) =
                                               Z −x+at
                                             1
          = [ϕ(x + at) + ϕ(−x + at)]/2 +               ψ(α)dα
                                            2a x0
                  Z x+at
                1
             +           ψ(α)dα + C1 ,
               2a x0
где C1 = 2C.
       Для точек, лежащих в областях IV (рис. 12), V (рис. 13) , V I
(рис. 14) соответственно, имеем
                                                        Z   2l−x−at
                                               1
 U (x, t) = [ϕ(−x + at) + ϕ(2l − x − at)]/2 −                         ψ(α)dα, (x, t) ∈ IV.
                                              2a          −x+at




             U (x, t) = [ϕ(2l + x − at) + ϕ(2l − x − at)]/2 −
                           Z 2l+x−at
                         1
                      −              ψ(α)dα −
                        2a x0
                           Z 2l−x−at
                         1
                      −              ψ(α)dα − C1 , (x, t) ∈ V,
                        2a x0
                                          65

Страницы