Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

l
−ϕ(x)),
кроме того,
она является перидической с периодом 2 . Поэто-
му ϕ
1
(x) = ϕ(x) = sin
πx
l
на
всей действительной
оси. Значит, решение
запишется на основании формулы (4), то есть
U(x, t) = [ϕ
1
(x − at) + ϕ
1
(x + at)]/2 = sin
πx
l
cos
π
at
l
, 0 ≤ x ≤ l
, t
> 0.
9.5. Записать решение уравнения (1
0
) с граничными условиями
(3
0
) и начальными условиями вида
½
U(x, 0) = ϕ(x),
U
t
(x, 0) = 0,
где ϕ(x) есть парабола, проходящая через точки (0, 0) и (l, 0), имеющая
вершину в точке (l/2, h) (рис. 15)
Рис. 15
У к а з а н и е 1. Для того чтобы записать решение зада-
чи, необходимо записать уравнение параболы, то есть найти функцию
ϕ(x).
У к а з а н и е 2. Имея ϕ(x), записать ϕ(x − at), ϕ(x +
at), ϕ(at − x), ϕ(2l − x − at), ϕ(−2l + x − at), а затем подставить в
формулы (4),(7)-(11), соответствующие каждой из областей I − V I
(рис. 10).
О т в е т:
ϕ(x) = −
4h
l
(x
2
/l − x)
U(x,
t) = −
4
h[x
2
+ (at)
2
− lx]
l
2
, (x,
t) ∈ I.
U(
x, t) =
−4h
l
2
(l − x)(2at − l), (x,
t) ∈ II
.
68
−ϕ(x)), кроме того, она является перидической с периодом 2 l . Поэто-
му ϕ1 (x) = ϕ(x) = sin πx
                        l на всей действительной оси. Значит, решение
запишется на основании формулы (4), то есть

                                                 πx     πat
U (x, t) = [ϕ1 (x − at) + ϕ1 (x + at)]/2 = sin      cos     , 0 ≤ x ≤ l, t > 0.
                                                  l      l
       9.5. Записать решение уравнения (10 ) с граничными условиями
(30 ) и начальными условиями вида
                          ½
                            U (x, 0) = ϕ(x),
                            Ut (x, 0) = 0,
где ϕ(x) есть парабола, проходящая через точки (0, 0) и (l, 0), имеющая
вершину в точке (l/2, h) (рис. 15)




                                     Рис. 15


      У к а з а н и е 1. Для того чтобы записать решение зада-
чи, необходимо записать уравнение параболы, то есть найти функцию
ϕ(x).
      У к а з а н и е 2. Имея ϕ(x), записать ϕ(x − at), ϕ(x +
at), ϕ(at − x), ϕ(2l − x − at), ϕ(−2l + x − at), а затем подставить в
формулы (4),(7)-(11), соответствующие каждой из областей I − V I
(рис. 10).
      О т в е т:
      ϕ(x) = − 4hl (x2 /l − x)

                               4h[x2 + (at)2 − lx]
                U (x, t) = −                       , (x, t) ∈ I.
                                       l2
                            −4h
               U (x, t) =       (l − x)(2at − l), (x, t) ∈ II.
                             l2
                                       68

Страницы