Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

= =
cos
= sin
З
а д а ч и
10.1.
X
00
= −λX (8)
X(0) = 0, X(l) = 0 (9)
Здесь n = 1, p, ρ ≡ 1, q ≡ 0, α
0
= α
l
= 1, β
0
= β
l
= 0. Найдем
общее решение (8) при λ ≥ 0 (см.т.1).
1)λ = 0 Общее решение (8) имеет вид:
X(x) = C
1
+ C
2
x (10)
Записывая (9) для (10), имеем C
1
= C
2
= 0, т.е. в данном случае
задача не имеет решений.
2) λ > 0 Общее решение (8) имеет вид:
X(x) = C
1
cos
√
λx + C
2
sin
√
λx (11)
Записывая
(9) для
(11), получаем:
½
C
1
· 1 + C
2
· 0 = 0
C
1
cos
√
λl + C
2
sin
√
λl =
0,
(12)
∆(
λ) =
¯
¯
¯
¯
1 0
cos
√
λl sin
√
λl
¯
¯
¯
¯
= sin
√
λl =
0
откуда
√
λ
=
π
k,
k = ±1, ±2..., λ
k
= (
πk
l
)
2
(λ
0
=
0 решений не
дает).
Подставляя λ
k
в (12), получаем C
1
= 0, C
2
- произвольное. Полагая
C
2
= 1, получаем решение задачи
λ
k
= (
πk
l
)
2
,
X
k
πk
l
,
k = 1
, 2...,
причем ограничиваемся только натуральными значениями k, так как
отрицательные значения k дают решения, линейно зависимые с пер-
выми.
10.2. X
00
= −λX, X
0
(0) = X(l) = 0.
О т в е т : λ
k
π(1+2k
2l
2
,
X
k
π(1+2k
2l
x ,
k = 0
, 1, ...
10.3.
∂
2
X
∂
x
2
1
+
∂
2
X
∂
x
2
2
= −λX
, Ω = (0, a
1
) × (0, a
2
), X|
∂Ω
= 0.
Найти собственные функции и собственные значения, показать
ортогональность собственных функций.
У к а з а н и е
˙
Применить метод разделения переменных,
отыскивая X(x) в виде X(x
1
, x
2
) = X
1
(x
1
)X
2
(x
2
).
О т в е т : λ
k
1
k
2
= π
2
P
2
i=1
(
k
i
a
i
)
2
,
X
k
1
k
2
=
Q
2
i=1
sin(
π
k
i
a
i
x
i
),
k
1
, k
2
=
1, 2....
10.4. X λX, X
0
(0) = 0, X
0
(l) + hX(l) = 0, h > 0 − const.
74
k
l
x
)
)
[
[
=
−
0
0
.
.
0
,
                              З а д а ч и
      10.1.
                                 X 00 = −λX                                (8)

                            X(0) = 0, X(l) = 0                             (9)
     Здесь n = 1, p, ρ ≡ 1, q ≡ 0, α0 = αl = 1, β0 = βl = 0. Найдем
общее решение (8) при λ ≥ 0 (см.т.1).
     1)λ = 0 Общее решение (8) имеет вид:

                             X(x) = C1 + C2 x .                           (10)
     Записывая (9) для (10), имеем C1 = C2 = 0, т.е. в данном случае
задача не имеет решений.
     2) λ > 0 Общее решение (8) имеет вид:
                                √           √
                  X(x) = C1 cos λx + C2 sin λx .                (11)
     Записывая (9) для (11), получаем:
                  ½
                          C√1 · 1 + C2 · 0 √
                                           =0
                                                                 (12)
                    C1 cos λl + C2 sin λl = 0,
                      ¯                    ¯
                      ¯    1         0     ¯    √
              ∆(λ) = ¯¯    √         √ ¯ = sin λl = 0 ,0
                        cos λl sin λl ¯
       √
откуда λkl=πk, k = ±1, ±2..., λk = ( πkl )2 (λ0 = 0 решений не дает).
Подставляя λk в (12), получаем C1 = 0, C2 - произвольное. Полагая
C2 = 1, получаем решение задачи
                          πk 2                    πk
                   λk = (     ) , Xk = sin            x, k = 1, 2...,
                            l                       l
причем ограничиваемся только натуральными значениями k, так как
отрицательные значения k дают решения, линейно зависимые с пер-
выми.
     10.2. X 00 = −λX, X 0 (0) = X(l) = 0.
                                                              )
     О т в е т : λk = [ π(1+2k  2l
                                   [ )2
                                         , Xk = cos π(1+2k 2l x , k = 0, 1, ...
             2       2
     10.3. ∂∂xX2 + ∂∂xX2 = −λX, Ω = (0, a1 ) × (0, a2 ), X|∂Ω = 0.
               1       2
     Найти собственные функции и собственные значения, показать
ортогональность собственных функций.
     У к а з а н и е П̇рименить метод разделения переменных,
отыскивая X(x) в виде X(x1 ,P       x2 ) = X1 (x1 )X2 (x2 ).
                                 2     2     ki 2
     О т в е т : λk1 k2 = π            i=1 ( ai ) ,
               Q
     Xk1 k2 = 2i=1 sin( πkai xi ), k1 , k2 = 1, 2....
                            i


     10.4. X 00=−λX, X 0 (0) = 0, X 0 (l) + hX(l) = 0, h > 0 − const.

                                       74

Страницы