Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

0
где
оператор L
опроеделен на стр.71
З А Н Я Т И Е 11
Тема. МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
(СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ)
Дано однородное уравнение колебаний
ρ(x)U
tt
= −LU, (x, t) ∈ Q
∞
= Ω × (0, ∞), Ω ⊂ R
n
x
(1
0
)
Найти функцию U(x, t) ∈ C
2
(Q
∞
) ∩C
1
(
¯
Q
∞
),
¯
Q
∞
= Q
∞
∪{∂Ω ×
[0, ∞]} ∪ {
¯
Ω × (t = 0)}, удовлетворяющую уравнению (1
0
) в Q
∞
, на-
чальным условиям
U(x, 0) = ϕ (x), U
t
(x, 0) = ψ(x), x ∈
¯
Ω (2)
и граничному условию
[α(x)U + β(x)
∂U
∂
n
] |
∂Ω×[0
,∞)
= 0, (3
0
)
где ~n - внешняя нормаль к ∂Ω, [αϕ + β
∂ϕ
∂
n
] |
∂Ω
= 0
.
Решение задачи (1
0
),(2),(3
0
) проводится в два этапа.
1. Строим частные решения уравнения (1
0
), имеющие вид
U(x, t) = X(x)T(t) (4)
и удовлетворяющие (3
0
). Подставим (4) в (1 ) и умножим полученное
соотношение на 1/ρXT , тогда получим
T
00
T
= −
1
ρX
LX (5)
(5)
должно быть
тождественным для x ∈ Ω, t ∈ (0, ∞). Это возмож-
но лишь тогда, когда правая и левая части есть константа, которую
обозначим −λ. Приравнивая правую и левую части −λ, получим два
независимых уравнения относительно T и X
T
00
+ λT = 0 (6)
LX = λρ(x)X (7)
Подставляя (4) в (3
0
) и учитывая, что T (t) 6≡ 0, будем иметь
[α(x)X + β(x)
∂X
∂
n
] |
∂Ω
= 0
. (8)
Таким образом, для определения X(x) мы пришли к задаче
на собственные значения (7), (8). Пусть {λ
k
}
∞
1
, {X
k
}
∞
1
- ее решения.
76
L
.
.
,
                          З А Н Я Т И Е 11

   Тема. МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
       ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
               (СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ)


     Дано однородное уравнение колебаний
        ρ(x)Utt = −LU,     (x, t) ∈ Q∞ = Ω × (0, ∞),     Ω ⊂ Rxn    (10 )

      где оператор L L опроеделен на стр.71
      Найти функцию U (x, t) ∈ C 2 (Q∞ ) ∩ C 1 (Q̄∞ ), Q̄∞ = Q∞ ∪ {∂Ω ×
[0, ∞]} ∪ {Ω̄ × (t = 0)}, удовлетворяющую уравнению (10 ) в Q∞ , на-
чальным условиям
                  U (x, 0) = ϕ(x), Ut (x, 0) = ψ(x), x ∈ Ω̄          (2)
и граничному условию
                                     ∂U
                    [α(x)U + β(x)       ] |∂Ω×[0,∞) = 0,            (30)
                                     ∂n
где ~n - внешняя нормаль к ∂Ω, [αϕ + β ∂ϕ   ∂n ] |∂Ω = 0.
       Решение задачи (10 ),(2),(30 ) проводится в два этапа.
       1. Строим частные решения уравнения (10 ), имеющие вид
                          U (x, t) = X(x)T (t)                       (4)
и удовлетворяющие (30). Подставим (4) в (10 ) и умножим полученное
соотношение на 1/ρXT , тогда получим
                            T 00     1
                                 =−    LX .                          (5)
                            T       ρX
(5) должно быть тождественным для x ∈ Ω, t ∈ (0, ∞). Это возмож-
но лишь тогда, когда правая и левая части есть константа, которую
обозначим −λ. Приравнивая правую и левую части −λ, получим два
независимых уравнения относительно T и X
                             T 00 + λT = 0 ,                         (6)
                            LX = λρ(x)X .                            (7)
Подставляя (4) в (3 0) и учитывая, что T (t) 6≡ 0, будем иметь
                                         ∂X
                      [α(x)X + β(x)         ] |∂Ω = 0.               (8)
                                         ∂n
     Таким образом, для определения X(x) мы пришли к задаче
на собственные значения (7), (8). Пусть {λk }∞        ∞
                                             1 , {Xk }1 - ее решения.

                                    76

Страницы