Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Замечание
2. Если в (1
0
) вместо
члена ρ(x)U
tt
слева стоит ком-
бинация ρ(x)[a(t)U
tt
+ b(t)U
t
+ c(t)U], a(t) > 0, то схема исследования
задачи остается прежней, при этом лишь несколько усложняется урав-
нение для T (t).
З а д а ч и.
11.1. Однородная струна длиной l натянута между точками
x = 0 и x = l. В момент t = 0 точкам струны сообщены некото-
рые смещения ϕ(x) и скорости ψ(x). Определить отклонение U(x, t)
струны для любого момента времени. Рассмотреть частный случай,
когда ϕ(x) = A sin
πx
l
,
ψ(x
) ≡ 0.
Р е ш е н и е. Задача о плоских поперечных колебаниях струны
ставится на лекции и приводится к следующей смешанной задаче:
U
tt
= a
2
U
xx
, (x, t) ∈ Q
∞
= (0, l) × (0, ∞) (12)
U(x, 0) = ϕ(x), U
t
(x, 0) = ψ(x) 0 ≤ x ≤ l (13)
U(0, t) = U(l, t) = 0, t ≥ 0(ϕ(0) = 0, ϕ(l) = 0). (14)
1. Подставив (4) в (12) и разделив обе части на a
2
XT , получим
T
00
a
2
T
=
X
00
X
= −λ,
отку
да
T
00
+ a
2
λT = 0 (15)
X
00
+ λX =
0. (16)
Подставляя (4) в (14), имеем
X(0) = 0, X(l ) = 0 (17)
Решения задачи (16), (17) имеют вид (см. 10.1):
λ
k
= (
πk
l
)
2
,
X
k
(x
) = sin(
πk
l
x),
k = 1
, 2, ....
Подставляя λ
k
в (15), получаем
T
k
(t) = a
k
cos(
aπk
l
t)
+ b
k
sin(
aπ
k
l
t).
2.
Берем
общее
решение задачи в виде ряда (9). Запишем для (9)
(13)
U(x, 0) =
∞
X
k=1
a
k
sin
πk
l
x = ϕ(x),
78
,
,
,
.
     Замечание 2. Если в (10 ) вместо члена ρ(x)Utt слева стоит ком-
бинация ρ(x)[a(t)Utt + b(t)Ut + c(t)U ], a(t) > 0, то схема исследования
задачи остается прежней, при этом лишь несколько усложняется урав-
нение для T (t).

                               З а д а ч и.

     11.1. Однородная струна длиной l натянута между точками
x = 0 и x = l. В момент t = 0 точкам струны сообщены некото-
рые смещения ϕ(x) и скорости ψ(x). Определить отклонение U (x, t)
струны для любого момента времени. Рассмотреть частный случай,
когда ϕ(x) = A sin πx
                    l , ψ(x) ≡ 0.
     Р е ш е н и е. Задача о плоских поперечных колебаниях струны
ставится на лекции и приводится к следующей смешанной задаче:
                Utt = a2 Uxx , (x, t) ∈ Q∞ = (0, l) × (0, ∞) ,       (12)
               U (x, 0) = ϕ(x), Ut (x, 0) = ψ(x)        0 ≤ x ≤ l,   (13)
             U (0, t) = U (l, t) = 0, t ≥ 0(ϕ(0) = 0, ϕ(l) = 0).     (14)
       1. Подставив (4) в (12) и разделив обе части на a2 XT , получим
                              T 00   X 00
                                   =      = −λ,
                              a2 T   X
откуда
                               T 00 + a2 λT = 0 ,                    (15)
                                X 00 + λX = 0.                       (16)
Подставляя (4) в (14), имеем
                             X(0) = 0, X(l) = 0 .                    (17)
Решения задачи (16), (17) имеют вид (см. 10.1):
                        πk 2                πk
               λk = (      ) , Xk (x) = sin( x), k = 1, 2, ....
                         l                   l
Подставляя λk в (15), получаем
                                     aπk              aπk
                  Tk (t) = ak cos(       t) + bk sin(     t).
                                      l                l
       2. Берем общее решение задачи в виде ряда (9). Запишем для (9)
(13)
                                 ∞
                                 X              πk
                    U (x, 0) =         ak sin      x = ϕ(x),
                                                 l
                                 k=1



                                        78

Страницы