ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
=
l
π
kx
U |
t
=0
= A sin
πx
1
p
sin
π
x
2
p
,
U
t
|
t=0
=
0, U |
∂Ω×[0,∞)
= 0.
О т в е т:
U = A cos
aπ
√
2t
p
sin
π
x
1
p
sin
π
x
2
p
.
Д
о м
а ш н е е з а д а н и е
11.4. Решить смешанную задачу, полученную в задаче 1.8.
О т в е т:
U =
2hl
2
π
2
c(c−l)
P
∞
k=1
1
k
2
sin
l
cos
π
kat
l
sin
π
kc
.
11.5. Изучить
свободные
колебания стержня длиной l, у которо-
го оба конца свободны.
У к а з а н и е. Учесть, что λ
0
= 0 есть собственное значение
соответствующей задачи о собственных значениях.
О т в е т:
U = ϕ
0
+ ψ
0
t +
P
∞
k=1
(ϕ
k
cos
πkat
l
+
ψ
k
l
π
ka
sin
π
kat
l
)
cos
πk
l
x, г
де
ϕ
0
=
1
l
R
l
0
ϕ(x)dx,
ψ
0
=
1
l
R
l
0
ψ(x)dx,
ϕ
k
=
2
l
R
l
0
ϕ(x)
cos
πk
x
l
dx,
ψ
k
=
2
l
R
l
0
ψ(x)
cos
πk
x
l
dx.
11.6. Р
ешить смешанную
задачу:
U
t
= ∆U, 0 < x
i
< π(i = 1, 2), t > 0, U |
t=0
= 3 sin x
1
sin 2x
2
,
U
t
|
t=0
= 5 sin 3x
1
sin 4x
2
, U |
x
1
=0
= U |
x
2
=0
= U |
x
1
=π
= U |
x
2
=π
= 0.
О т в е т:
U = 3 cos
√
5t sin x
1
sin
2x
2
+ sin
5t sin 3x
1
sin 4x
2
.
11.7. U
tt
= a
2
∆U, 0 < x
1
< s, 0 < x
2
< p, t > 0
U
t=0
=
Ax
1
x
2
, U
t
|
t=0
= 0
,
U |
x
1
=0
= U
x
1
|
x
1
=s
= U |
x
2
=0
= U
x
2
|
x
2
=p
= 0.
О т в е т:
U =
∞
X
k
1
,k
2
ϕ
k
1
,k
2
cos(aπ
s
(
2k
1
+
1
2s
)
2
+
(
2k
2
+
1
2p
)
2
)t sin
(2k
1
+
1)πx
1
2s
sin
(2k
2
+
1)π
x
2
2p
,
г
де
ϕ
k
1
,k
2
=
(−
1)
k
1
+k
2
64Aps
π
4
(2k
1
+1)
2
(2k
2
+1)
2
.
80
t
0
πx1 πx2
U |t=0 = A sin sin , Ut |t=0 = 0, U |∂Ω×[0,∞) = 0.
p p
О т в е т:√
U = A cos aπ p 2t sin πxp 1 sin πxp 2 .
Д о м а ш н е е з а д а н и е
11.4. Решить смешанную задачу, полученную в задаче 1.8.
О т в е т:
2 P
∞
U = π22hl
c(c−l)
1
k2 sin πkx
l cos
πkat
l sin πkc
.l
k=1
11.5. Изучить свободные колебания стержня длиной l, у которо-
го оба конца свободны.
У к а з а н и е. Учесть, что λ0 = 0 есть собственное значение
соответствующей задачи о собственных значениях.
О т в е т:
P
U = ϕ 0 + ψ0 t + ∞ k=1 (ϕk cos πkat
l
ψk l
+ πka sin πkat
l
) cos πkl x, где
Rl Rl
ϕ0 = 1l 0 ϕ(x)dx, ψ0 = 1l 0 ψ(x)dx,
Rl R
2 l
ϕk = 2l 0 ϕ(x) cos πkx
l dx, ψ k = πkx
l 0 ψ(x) cos l dx.
11.6. Решить смешанную задачу:
Ut t= ∆U, 0 < xi < π(i = 1, 2), t > 0, U |t=0 = 3 sin x1 sin 2x2 ,
Ut |t=0 = 5 sin 3x1 sin 4x2 , U |x1 =0 = U |x2 =0 = U |x1 =π = U |x2 =π = 0.
О т в е т:
√
U = 3 cos 5t sin x1 sin 2x2 + sin 5t sin 3x1 sin 4x2 .
11.7. Utt = a2 ∆U, 0 < x1 < s, 0 < x2 < p, t > 0
Ut=0 = Ax1 x2 , Ut |t=0 = 0,
U |x1 =0 = Ux1 |x1 =s = U |x2 =0 = Ux2 |x2 =p = 0.
О т в е т:
s
∞
X 2k1 + 1 2 2k2 + 1 2 (2k1 + 1)πx1 (2k2 + 1)πx2
U= ϕk1 ,k2 cos(aπ ( ) +( ) )t sin sin ,
2s 2p 2s 2p
k1 ,k2 = 0
где
(−1)k1 +k2 64Aps
ϕk1 ,k2 = π 4 (2k 2
1 +1) (2k2 +1)
2.
80
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- …
- следующая ›
- последняя »
