Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

0
Предполо
жим, что
(4) сходится равномерно и допускает двукрат-
ное дифференцирование по x и t, тогда (4) удовлетворяет (3
0
) за счет
выбора X
k
(x). Определим
¯
T
k
(t) так, чтобы (4) удовлетворяло (1), (2 ).
Подставляя (4) в (1), получим
∞
X
k=1
[
¯
T
00
k
(t) + (
πka
l
)
2
¯
T
k
(t)]
sin
πk
x
l
= f(x,
t). (5)
Зафик
сируем в (5) t ∈ (0, ∞), тогда слева в (5) ряд Фурье по
системе sin
πkx
l
,
а справа
заданная функция f. Таким образом мы при-
шли к задаче представления заданной функции в ряд Фурье по системе
sin
πkx
l
.
Предполагая,
что при каждом фиксированном t f по перемен-
ной x удовлетворяет условиям теоремы Стеклова, получим, что (5)
будет выполнено, если
¯
T
00
k
(t) + (
πka
l
)
2
¯
T
k
(t)
= f
k
(t
), (6)
f
k
(t) =
2
l
Z
l
0
f(x,
t)) sin
π
kx
l
dx,
k = 1
, 2....
Подставляя (4) в (2
0
), получим
∞
X
k=1
¯
T
k
(0) sin
πkx
l
=
0,
∞
X
k=1
¯
T
0
k
(0)
sin
πkx
l
=
0,
отку
да
¯
T
k
(0) = 0,
¯
T
0
k
(0) = 0. (7)
Итак, для определения
¯
T
k
получили задачу Коши для обыкновенно-
го дифференциального уравнения (6) с условиями (7). Найдем общее
решение (6) методом вариации произвольных постоянных. Общее ре-
шение соответствующего однородного уравнения (6
0
)(f
k
≡ 0) имеет
вид:
¯
T
k0
(t) = a
k
cos
aπkt
l
+ b
k
sin
aπ
kt
l
.
Бу
дем иск
ать решение (6) в виде
¯
T
k
(t) = a
k
(t) cos
aπkt
l
+ b
k
(t)
sin
aπk
t
l
. (8)
Система
относительно a
0
k
(t
), b
0
k
(t) имеет вид:
½
a
0
k
(t)cos
aπkt
l
+ b
0
k
(t)
sin
aπk
t
l
=
0
−a
0
k
(
t)
aπk
l
sin
aπ
kt
l
+ b
0
k
(t)
aπ
k
l
cos
aπ
kt
l
= f
k
(t),
отку
да
84
     Предположим, что (4) сходится равномерно и допускает двукрат-
ное дифференцирование по x и t, тогда (4) удовлетворяет (30) за счет
выбора Xk (x). Определим T̄k (t) так, чтобы (4) удовлетворяло (1), (20 ).
Подставляя (4) в (1), получим
               ∞
               X                      πka 2             πkx
                     [T̄k00 (t) + (      ) T̄k (t)] sin     = f (x, t).   (5)
                                       l                 l
               k=1
       Зафиксируем в (5) t ∈ (0, ∞), тогда слева в (5) ряд Фурье по
системе sin πkx
             l , а справа заданная функция f . Таким образом мы при-
шли к задаче представления заданной функции в ряд Фурье по системе
sin πkx
     l . Предполагая, что при каждом фиксированном t f по перемен-
ной x удовлетворяет условиям теоремы Стеклова, получим, что (5)
будет выполнено, если
                                     πka 2
                       T̄k00 (t) + (      ) T̄k (t) = fk (t),             (6)
                                       l
                             Z
                         2 l                    πkx
               fk (t) =          f (x, t)) sin      dx, k = 1, 2....
                         l 0                      l
Подставляя (4) в (20), получим
             ∞
             X                          ∞
                                        X
                               πkx                     πkx
                   T̄k (0) sin     = 0,   T̄k0 (0) sin     = 0,
                                l                       l
             k=1                                   k=1

откуда
                                T̄k (0) = 0, T̄k0 (0) = 0.                (7)
Итак, для определения T̄k получили задачу Коши для обыкновенно-
го дифференциального уравнения (6) с условиями (7). Найдем общее
решение (6) методом вариации произвольных постоянных. Общее ре-
шение соответствующего однородного уравнения (60)(fk ≡ 0) имеет
вид:
                                   aπkt          aπkt
                 T̄k0 (t) = ak cos      + bk sin      .
                                     l             l
Будем искать решение (6) в виде
                                    aπkt               aπkt
                   T̄k (t) = ak (t) cos   + bk (t) sin      .             (8)
                                       l                 l
Система относительно a0k (t), b0k (t) имеет вид:
           ½ 0
             ak (t)cos aπkt    0         aπkt
                          l + bk (t) sin l = 0
             −a0k (t) aπk    aπkt      0   aπk     aπkt
                       l sin l + bk (t) l cos l = fk (t),
откуда



                                              84

Страницы