Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

π
a
√
λ =
ω
a
,
C = 0
, D =
A
sin
ω
a
l
. (12)
По
дставляя
(12) в (4), окончательно получаем
U
1
= X(x)T (t) = sin
√
λx(C cos a
√
λt + D sin a
√
λt)
=
A
sin
ω
a
l
sin
ω
a
x sin ω
t.
Функцию U
1
можно
найти и другим способом, а именно отыски-
ваем ее в виде
U
1
(x, t) = X(x) sin ωt. (13)
Подставляя U
1
в (1
0
), получим −ω
2
X sin ωt = a
2
X
00
sin ωt, откуда
имеем
X
00
+ (
ω
a
)
2
X =
0. (14)
По
дставляя (13) в (3), получим
X(0) = 0, X(l) = A. (15)
Решая(14), (15), получим X =
A sin
ω
a
x
sin
ω
a
l
и,
следовательно, получим
U
1
.
О
т в е т:
U =
A sin
ω
a
x
sin
ω
a
l
sin ω
t+
2
Aωa
l
P
∞
k=1
(−1)
k
ω
2
−
2
sin
k
πat
l
sin
k
π
l
x.
14.3. Стер
жень
длиной l, конец которого x = 0 закреплен, нахо-
дится в состоянии покоя. В момент времени t = 0 к свободному концу
приложена сила Q - const (на единицу площади), направленная вдоль
стержня. Найти смещение U(x, t) в любой момент времени t (см. 1.7).
О т в е т:
U =
Qx
E
−
8Ql
π
2
E
∞
P
k=0
(−1)
k
cos
(2k+1)π
at
2l
sin
(2k+1)π
x
2l
(2k+1)
2
.
90
k
2
l
2
k
2
2
2
                              √           ω                A
                                  λ=        , C = 0, D =          .                        (12)
                                          a              sin ωa l

       Подставляя (12) в (4), окончательно получаем

                             √          √            √
         U1 = X(x)T (t) = sin λx(C cos a λt + D sin a λt) =

                                       A          ω
                                              sin   x sin ωt.
                                     sin ωa l     a
     Функцию U1 можно найти и другим способом, а именно отыски-
ваем ее в виде

                                   U1 (x, t) = X(x) sin ωt.                                (13)
     Подставляя U1 в (10 ), получим −ω 2 X sin ωt = a2 X 00 sin ωt, откуда
имеем
                                   ω
                           X 00 + ( )2 X = 0.                                              (14)
                                   a
       Подставляя (13) в (3), получим

                                    X(0) = 0, X(l) = A.                                    (15)
                                                         A sin ωa x
       Решая(14), (15), получим X =                       sin ωa l
                                                                      и, следовательно, получим
U1 .

       О т в е т:
            A sin ωa x        P∞ 2Aωa 2 l k 2 (−1)k   kπat
       U=        ω
             sin a l
                       sin ωt+ k=1 2 2 π 2 l 2 ω 2 sin l                    sin kπl x.
                                  a k     −

     14.3. Стержень длиной l, конец которого x = 0 закреплен, нахо-
дится в состоянии покоя. В момент времени t = 0 к свободному концу
приложена сила Q - const (на единицу площади), направленная вдоль
стержня. Найти смещение U (x, t) в любой момент времени t (см. 1.7).
       О т в е т:
            Qx       8Ql    P
                            ∞
                                         k cos
                                                 (2k+1)πat
                                                         sin (2k+1)πx
       U=   E    −   π2 E         (−1)               2l
                                                     (2k+1)2
                                                                2l
                                                                      .
                            k=0




                                                    90

Страницы