Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

0
Найти
функцию U(x,
t) ∈ C
2,1
(Q
∞
) ∩ C
1,0
(
¯
Q
∞
) (первый индекс озна-
чает принадлежность классу по x, второй по t), удовлетворяющую
уравнению (1) в Q
∞
, начальному условию
U(x, 0) = ϕ(x), x ∈
¯
Ω (2)
и граничному условию
[α(x)U + β(x)
∂U
∂
n
] |
∂Ω×
[0,∞)
= γ(x, t), (3)
причем [α(x)ϕ(x) + β
∂ϕ(n)
∂
n
] |
∂Ω
= γ(x, 0)
.
Из (1) при n = 3, q(x) ≡ 0 имеем уравнение теплопроводности,
описывающее процесс распространения тепла в теле, U(x, t) - темпе-
ратура точки x в момент t. Схема решения задачи (1), (2), (3) повторя-
ет схему решения смешанной задачи для уравнений гиперболическо-
го типа, расcмотренную на занятиях 11-14. Отличие состоит только в
том, что уравнение для определения T (t) (см. (6) занятия 11) является
уравнением первого порядка и имеет вид:
T
0
+ λT = 0.
З а д а ч и
15.1. Найти распределение температуры в однородном стержне
длины l с теплоизолированной боковой поверхностью, если температу-
ра его концов поддерживается равной нулю, а начальная температура
равна произвольной функции ϕ(x).
Р е ш е н и е. Задача была поставлена на занятии 2 (см. 2.1) и
имеет вид
U
t
= a
2
U
xx
, a
2
=
k
cρ
, (x,
t) ∈ Q
∞
= (0,
l) × (0, ∞) (4
0
)
U(x, 0) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ l (5)
U(0, t) = U(l, t) = 0, t ≥ 0(ϕ(0) = ϕ(l) = 0). (6
0
)
Так как уравнение (4
0
) и граничные условия (6 ) однородны, то
применяется схема решения задачи, рассмотренная на занятии 11.
1. Ищем частные решения уравнения (4
0
) вида
U(x, t) = X(x)T (t), (7)
удовлетворяющие (6
0
). Подставляя (7) в (4
0
),(6
0
), приходим, как и
раньше, к задачам
92
,
,
Найти функцию U (x, t) ∈ C 2,1 (Q∞ ) ∩ C 1,0 (Q̄∞ ) (первый индекс озна-
чает принадлежность классу по x, второй по t), удовлетворяющую
уравнению (1) в Q∞ , начальному условию

                         U (x, 0) = ϕ(x), x ∈ Ω̄                       (2)
и граничному условию
                                   ∂U
                 [α(x)U + β(x)        ] |∂Ω×[0,∞) = γ(x, t),           (3)
                                   ∂n
причем [α(x)ϕ(x) + β ∂ϕ(n)
                      ∂n ] |∂Ω = γ(x, 0).
      Из (1) при n = 3, q(x) ≡ 0 имеем уравнение теплопроводности,
описывающее процесс распространения тепла в теле, U (x, t) - темпе-
ратура точки x в момент t. Схема решения задачи (1), (2), (3) повторя-
ет схему решения смешанной задачи для уравнений гиперболическо-
го типа, расcмотренную на занятиях 11-14. Отличие состоит только в
том, что уравнение для определения T (t) (см. (6) занятия 11) является
уравнением первого порядка и имеет вид:

                                T 0 + λT = 0.

                                З а д а ч и

      15.1. Найти распределение температуры в однородном стержне
длины l с теплоизолированной боковой поверхностью, если температу-
ра его концов поддерживается равной нулю, а начальная температура
равна произвольной функции ϕ(x).
      Р е ш е н и е. Задача была поставлена на занятии 2 (см. 2.1) и
имеет вид
                                k
           Ut = a2 Uxx , a2 =      , (x, t) ∈ Q∞ = (0, l) × (0, ∞) ,   (40)
                                cρ
                       U (x, 0) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ l ,                    (5)

             U (0, t) = U (l, t) = 0, t ≥ 0(ϕ(0) = ϕ(l) = 0).          (60)
     Так как уравнение (40 ) и граничные условия (60 ) однородны, то
применяется схема решения задачи, рассмотренная на занятии 11.
     1. Ищем частные решения уравнения (40 ) вида

                          U (x, t) = X(x)T (t),                        (7)
удовлетворяющие (60 ). Подставляя (7) в (40),(6 0), приходим, как и
раньше, к задачам


                                      92

Страницы