ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
г
де λ
k
1
k
2
k
3
= π
2
P
3
i=1
(
k
i
l
i
)
2
,
c
k
1
k
2
k
3
=
8
l
1
l
2
l
3
R
l
1
0
R
l
2
0
R
l
3
0
ϕ(x
1
,
x
2
x
3
) u
3
i=1
sin
πk
i
l
i
dx
1
dx
2
dx
3
.
15.3. Найти
температуру стер
жня длины l с теплоизолирован-
ной боковой поверхностью, если по стержню непрерывно распределены
тепловые источники, плотность которых равна Φ(t)sin
πx
l
, на
чальная
температура стер
жня является произвольной функцией x, температу-
ра концов поддерживается равной нулю.
У к а з а н и е. Постановку задачи см. в 2.4. Для решения
задачи см. занятие 13.
О т в е т :
U = [
1
cρ
Z
t
0
Φ(τ)e
−
π
2
a
2
l
2
(t−τ)
dτ]
sin
πx
l
+
∞
X
k=1
a
k
e
−
k
2
π
2
a
2
l
2
t
sin
π
k
l
x,
a
k
=
2
l
Z
l
0
ϕ(x)
sin
πk
l
xdx.
Д
о м
а ш н е е з а д а н и е
15.4. Найти температуру стержня, на боковой поверхности ко-
торого происходит теплообмен со средой нулевой температуры, если
концы стержня теплоизолированы, а начальная температура являет-
ся произвольной функцией x.
У к а з а н и е. Постановка задачи дана в 2.5. Учесть, что λ =
0 есть собственное значение соответствующей задачи на собственные
значения.
О т в е т :
U =
a
0
2
e
−bt
+
P
∞
k=1
a
k
e
−[(
π
ka
l
)
2
+b]t
cos
π
k
l
x,
a
k
=
2
l
R
l
0
ϕ(x)
cos
πk
l
xdx,
b =
αp
cρs
.
15.5. На
чальная температура
стержня длины l с теплоизолиро-
ванной боковой поверхностью равна U
0
− const, а на концах его под-
держивается постоянная температура U(0, t) = U
1
, U(l, t) = U
2
. Найти
температуру U(x, t) стержня при t > 0.
У к а з а н и е: Решение задачи можно искать в виде U = U
1
(x)+
U
2
(x, t), где U
1
(x) - решение уравнения, удовлетворяющее граничным
условиям (см. замечание 3 занятия 14).
О т в е т :
U = U
1
+ (U
2
− U
1
)
x
l
+
94
P
где λk1 k2 k3 = π 2 3i=1 ( klii )2 ,
Rl Rl Rl
ck1 k2 k3 = l1 l82 l3 0 1 0 2 0 3 ϕ(x1 , x2 x3 ) u3i=1 sin πkli i dx1 dx2 dx3 .
15.3. Найти температуру стержня длины l с теплоизолирован-
ной боковой поверхностью, если по стержню непрерывно распределены
тепловые источники, плотность которых равна Φ(t)sin πxl , начальная
температура стержня является произвольной функцией x, температу-
ра концов поддерживается равной нулю.
У к а з а н и е. Постановку задачи см. в 2.4. Для решения
задачи см. занятие 13.
О т в е т :
Z ∞
1 t 2 2
− π l2a (t−τ ) πx X k 2 π 2 a2 πk
U =[ Φ(τ )e dτ ] sin + ak e− l2 t sin x,
cρ 0 l l
k=1
Z l
2 πk
ak = ϕ(x) sin xdx.
l 0 l
Д о м а ш н е е з а д а н и е
15.4. Найти температуру стержня, на боковой поверхности ко-
торого происходит теплообмен со средой нулевой температуры, если
концы стержня теплоизолированы, а начальная температура являет-
ся произвольной функцией x.
У к а з а н и е. Постановка задачи дана в 2.5. Учесть, что λ =
0 есть собственное значение соответствующей задачи на собственные
значения.
Ответ:
P
U = a20 e−bt + ∞
πka 2
k=1 ak e−[( l ) +b]t cos πkl x,
Rl αp
ak = 2l 0 ϕ(x) cos πkl xdx, b = cρs .
15.5. Начальная температура стержня длины l с теплоизолиро-
ванной боковой поверхностью равна U0 − const, а на концах его под-
держивается постоянная температура U (0, t) = U1 , U (l, t) = U2 . Найти
температуру U (x, t) стержня при t > 0.
У к а з а н и е: Решение задачи можно искать в виде U = U1 (x) +
U2 (x, t), где U1 (x) - решение уравнения, удовлетворяющее граничным
условиям (см. замечание 3 занятия 14).
Ответ:
U = U1 + (U2 − U1 ) xl +
94
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- …
- следующая ›
- последняя »
