Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a
I
II.
Третья граничная задача. Найти U(x) ∈ C
2
(Ω) ∩C
1
(
¯
Ω), удо-
влетворяющую (1) в Ω и условию
[
∂U
∂
n
+ α(y)
U] |
∂Ω
= f
3
(y).
Наряду с задачами I-III в приложениях важное значение имеют
смешанные граничные задачи, в которых на одной части границы за-
даются значения искомой функции, на другой - значения ее нормаль-
ной производной. В случае, когда Ω - конечная область, задачи I-III
называются внутренними. Если же Ω - бесконечная область, то имеем
внешние задачи, при этом кроме граничного условия для однозначно-
го определения решения задается условие (2). Граничные задачи для
уравнения (1) могут быть решены методом Фурье для некоторых обла-
стей частного вида, в частности для прямоугольника, параллелепипе-
да, ввиду возможности разделения переменных в граничном условии.
Введение сферических, полярных координат позволяет решить зада-
чи также в случае шара, круга, сектора и т.д. Имеется еще ряд об-
ластей, где разделение переменных в граничном условии может быть
осуществлено за счет введения тех или иных криволинейных коорди-
нат. Схема решения задач в случае уравнения (1) остается прежней.
З а д а ч и
16.1. Найти решение задачи Дирихле для уравнения (1
0
) в слу-
чае прямоугольника
¯
Ω = [0, a] × [0, b] по граничному условию
U |
x
1
=0
= Ax
2
(b − x
2
), U |
x
1
=a
= 0, 0 ≤ x
2
≤ b, (3)
U |
x
2
=0
= B sin
πx
1
a
,
U |
x
2
=b
= 0, 0 ≤ x
1
≤ (4)
г
де A, B − const.
Р е ш е н и е. В даном случае n = 2. В силу неоднородности
условий (3), (4) решение задачи U(x) = U(x
1
, x
2
) следует искать в виде
U(x) = U
1
(x) + U
2
(x), (5)
где U
1
, U
2
- решения уравнения (1
0
), удовлетворяющие соответственно
условиям
U
1
|
x
1
=0
= Ax
2
(b − x
2
), U
1
|
x
1
=a
= 0, 0 ≤ x
2
≤ b (3)
U
1
|
x
2
=0
= 0, U
1
|
x
2
=b
= 0, 0 ≤ x
1
≤ a (4
0
)
U
2
|
x
1
=0
= 0, U
2
|
x
1
=a
= 0, 0 ≤ x
2
≤ b (3
0
)
97
     III. Третья граничная задача. Найти U (x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω̄), удо-
влетворяющую (1) в Ω и условию
                             ∂U
                         [      + α(y)U ] |∂Ω = f3 (y).
                             ∂n
      Наряду с задачами I-III в приложениях важное значение имеют
смешанные граничные задачи, в которых на одной части границы за-
даются значения искомой функции, на другой - значения ее нормаль-
ной производной. В случае, когда Ω - конечная область, задачи I-III
называются внутренними. Если же Ω - бесконечная область, то имеем
внешние задачи, при этом кроме граничного условия для однозначно-
го определения решения задается условие (2). Граничные задачи для
уравнения (1) могут быть решены методом Фурье для некоторых обла-
стей частного вида, в частности для прямоугольника, параллелепипе-
да, ввиду возможности разделения переменных в граничном условии.
Введение сферических, полярных координат позволяет решить зада-
чи также в случае шара, круга, сектора и т.д. Имеется еще ряд об-
ластей, где разделение переменных в граничном условии может быть
осуществлено за счет введения тех или иных криволинейных коорди-
нат. Схема решения задач в случае уравнения (1) остается прежней.

                                 З а д а ч и

     16.1. Найти решение задачи Дирихле для уравнения (10 ) в слу-
чае прямоугольника Ω̄ = [0, a] × [0, b] по граничному условию

             U |x1 =0 = Ax2 (b − x2 ), U |x1 =a = 0, 0 ≤ x2 ≤ b,       (3)

                                  πx1
              U |x2 =0 = B sin        , U |x2 =b = 0, 0 ≤ x1 ≤ a       (4)
                                   a
где A, B − const.
     Р е ш е н и е. В даном случае n = 2. В силу неоднородности
условий (3), (4) решение задачи U (x) = U (x1 , x2 ) следует искать в виде

                             U (x) = U1 (x) + U2 (x),                  (5)
где U1 , U2 - решения уравнения (10 ), удовлетворяющие соответственно
условиям

           U1 |x1 =0 = Ax2 (b − x2 ), U1 |x1 =a = 0, 0 ≤ x2 ≤ b        (3)

                 U1 |x2 =0 = 0, U1 |x2 =b = 0, 0 ≤ x1 ≤ a             (40 )

                   U2 |x1 =0 = 0, U2 |x1 =a = 0, 0 ≤ x2 ≤ b           (3 0)

                                        97

Страницы