Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

отку
да получаем
a
k
=
2
b
Z
b
0
Ax
2
(b − x
2
)
sin
πk
b
x
2
dx
2
=
½
0,
k = 2
n
8Ab
2
π
3
(2n+1)
3
,
k = 2
n + 1, (11)
a
k
ch
πka
b
+ b
k
sh
π
ka
b
=
0. (12)
Учитывая (11),
из (12) имеем
b
k
=
(
0, k = 2n
−
8Ab
2
π
3
(2n+1)
3
c
h
π k
a
b
sh
π
ka
b
,
k = 2
n + 1,
(13)
Подставив (11) и (13) в (10), получим U
1
(x) в виде
U
1
(x) =
8Ab
2
π
3
∞
X
n=0
sh
(2n+1)π(a−x
1
)
b
sin
π(2n+1)x
2
b
(2n +
1)
3
sh
(2n
+1)πa
b
. (14)
Аналогично,
меняя мест
ами x
1
и x
2
, найдем
U
2
(x) = B
sh
π(b−x
2
)
a
sh
π
b
a
sin
π
x
1
a
. (15)
На
основании (5)
сумма функций (14) и (15) будет решением нашей
задачи.
16.2. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона
∆U = −2 (16)
в прямоугольнике
¯
Ω = (0, a) ×(−b/2, b/2), если выполняются условия:
U |
x
1
=0
= 0, U |
x
1
=a
= 0, −b/2 ≤ x
2
≤ b/2, (17
0
)
U |
x
2
=−b/2
= 0, U |
x
2
=b/2
= 0, 0 ≤ x
1
≤ a. (18
0
)
У к а з а н и е. Так как уравнение (16) неоднородно,
а условия (17
0
) и (18
0
) однородны, то для решения задачи можно
применить метод собственных функций (см. занятие 13). Но так как
F (x) ≡ 2 − const, удобнее искать решение задачи в виде U(x
1
, x
2
) =
U
1
(x
1
) + U
2
(x
1
, x
2
), где U
1
(x
1
)- решение уравнения (16), удовлетворя-
ющее условию (17
0
), а U
2
- решение уравнения 4U
2
= 0, удовлетворя-
ющее условиям
U
2
|
x
1
=0
= 0, U
2
|
x
1
=a
= 0, −b/2 ≤ x
2
≤ b/2,
U
2
|
x
2
=−b/2
= −U
1
(x
1
), U
2
|
x
2
=b/2
= −U
1
(x
1
), 0 ≤ x
1
≤ a.
99
откуда получаем
        Z                             ½
       2 b                  πk          0,            k = 2n
  ak =     Ax2 (b − x2 ) sin x2 dx2 =        8Ab2
       b 0                   b          π 3 (2n+1)3 , k = 2n + 1, (11)

                           πka                πka
                        ak ch      + bk sh        = 0.                     (12)
                               b               b
Учитывая (11), из (12) имеем
                     (
                        0,                     k = 2n
                bk =          8Ab2       πka
                                      ch b                                 (13)
                        − π3 (2n+1) 3
                                      sh πka
                                             , k = 2n + 1,
                                            b


Подставив (11) и (13) в (10), получим U1 (x) в виде
                                ∞
                                (2n+1)π(a−x1 )
                      8Ab2 X sh       b        sin π(2n+1)x
                                                       b
                                                            2

              U1 (x) = 3                                      .            (14)
                       π n=0     (2n + 1)3 sh (2n+1)πa
                                                    b
Аналогично, меняя местами x1 и x2 , найдем

                                     sh π(b−x
                                           a
                                              2)
                                                         πx1
                        U2 (x) = B                 sin       .             (15)
                                       sh πb
                                          a
                                                          a
На основании (5) сумма функций (14) и (15) будет решением нашей
задачи.
     16.2. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

                              ∆U = −2                            (16)
в прямоугольнике Ω̄ = (0, a) × (−b/2, b/2), если выполняются условия:

                U |x1 =0 = 0, U |x1 =a = 0, −b/2 ≤ x2 ≤ b/2,              (170 )

                 U |x2 =−b/2 = 0, U |x2 =b/2 = 0, 0 ≤ x1 ≤ a.             (180 )
       У к а з а н и е. Так как уравнение (16) неоднородно,
а условия (170 ) и (180 ) однородны, то для решения задачи можно
применить метод собственных функций (см. занятие 13). Но так как
F (x) ≡ 2 − const, удобнее искать решение задачи в виде U (x1 , x2 ) =
U1 (x1 ) + U2 (x1 , x2 ), где U1 (x1 )- решение уравнения (16), удовлетворя-
ющее условию (170 ), а U2 - решение уравнения 4U2 = 0, удовлетворя-
ющее условиям

                U2 |x1 =0 = 0, U2 |x1 =a = 0, −b/2 ≤ x2 ≤ b/2,


         U2 |x2 =−b/2 = −U1 (x1 ), U2 |x2 =b/2 = −U1 (x1 ), 0 ≤ x1 ≤ a.

                                       99

Страницы