Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a
k
1
k
2
=
½
0,
k
1
четное
k
2
16V
π
2
b
k
1
k
2
= −
a
k
1
k
2
c
h
√
λ
k
1
k
2
c
sh
√
λ
k
1
k
2
c
,
λ
k
1
k
2
= π
2
[(k
1
/a
)
2
+ (k
2
/b)
2
].
Д о м а ш н е е з а д а н и е
16.5. Найти решение U(x) уравнения Лапласа в прямоугольнике
Ω = (0, p) × (0, s), удовлетворяющее граничным условиям
U |
x
1
=0
= U
x
1
|
x
1
=p
= 0, U |
x
2
=0
= 0, U |
x
2
=s
= f(x
1
).
О т в е т :
U =
∞
X
k=0
a
k
sin
(2k + 1)π
2p
x
1
sh
(2k +
1)
2p
x
2
,
a
k
=
2
p
sh
−1
(2k +
1)π
s
2p
Z
p
0
f(x
1
)
sin
(2k +
1)πx
1
2p
dx
1
.
16.6. Найти
решение U(x
) уравнения Лапласа в прямоугольнике
Ω = (0, p) × (0, s),удовлетворяющее граничным условиям
U
x
1
|
x
1
=0
= U
x
1
|
x
1
=p
= 0, U |
x
2
=0
= A, U |
x
2
=s
= Bx
1
, A, B - const.
О т в е т :
U =
(p
2
B−2a)x
2
2s
+ A
4pB
2
π
2
P
∞
k=0
cos
(2k+1)π
x
1
p
sh
π (2k+1)x
2
p
(2k+1)
2
sh
(2k+1)π
s
p
.
16.7. Р
ешить зада
чу, поставленную в задаче 2.6.
У к а з а н и е. Для решения задачи можно применить метод
собственных функций, то есть искать решение задачи в виде ряда
U(x) =
P
∞
n=0
X
2
n
(x
2
)
sin
(2n
+1)πx
1
2a
,
г
де X
1
n
(x
1
)
= sin
(2n+1)πx
1
2a
-
собственные функции
краевой задачи
X
00
1
+ λX
1
= 0, X
1
(0) = X
1
0(a) = 0.
О т в е т :
U =
16Qa
2
k
π
3
P
∞
n=0
1
(2n+1)
3
[1 −
c
h
(2n
+1)π(b−x
2
)
2a
c
h
(2n
+1)πb
2a
]
sin
(2n
+1)πx
1
a
.
16.8. Записать
оператор Лапласа
при n = 2 в полярных коорди-
натах.
101
−
1
нечетные
k
2
,
−
k
1
k
2
,
k
+
π
                      ½
                           0,                            k1k2 −четное
          ak1 k2 =          16V
                           π 2k1,k2                      k1,k2 −нечетные
                               √
                   ak1 k2 ch       λk1 k2 c
      bk1 k2 = −           √                  , λk1 k2 = π 2 [(k1 /a)2 + (k2 /b)2 ].
                      sh       λk 1 k 2 c


                   Д о м а ш н е е                             з а д а н и е
     16.5. Найти решение U (x) уравнения Лапласа в прямоугольнике
Ω = (0, p) × (0, s), удовлетворяющее граничным условиям
     U |x1 =0 = Ux1 |x1 =p = 0, U |x2 =0 = 0, U |x2 =s = f (x1 ).
      Ответ:

                           ∞
                           X
                           (2k + 1)π         (2k + 1) π
                   U=                ak sin
                                      x1 sh             x2 ,
                               2p               2p
                  k=0
                              Z
              2 −1 (2k + 1)πs p               (2k + 1)πx1
          ak = sh                 f (x1 ) sin              dx1 .
              p        2p       0                  2p

     16.6. Найти решение U (x) уравнения Лапласа в прямоугольнике
Ω = (0, p) × (0, s),удовлетворяющее граничным условиям
     Ux1 |x1 =0 = Ux1 |x1 =p = 0, U |x2 =0 = A, U |x2 =s = Bx1 , A, B - const.
      Ответ:
           (p2 B−2a)x2                      4pB 2   P∞       cos
                                                                 (2k+1)πx1
                                                                           sh
                                                                              π(2k+1)x2

      U=        2s         +A+               π2       k=0
                                                                     p
                                                                        2
                                                                                  p
                                                                            (2k+1)πs      .
                                                                (2k+1) sh       p


     16.7. Решить задачу, поставленную в задаче 2.6.
     У к а з а н и е. Для решения задачи можно применить метод
собственных функций, то есть искать решение задачи в виде ряда
              P                   (2n+1)πx1
     U (x) = ∞  n=0 Xn2 (x2 ) sin     2a    ,
                         (2n+1)πx1
     где Xn1 (x1 ) = sin    2a     - собственные функции краевой задачи
       00
     X1 + λX1 = 0, X1 (0) = X1 0(a) = 0.
      Ответ:
                2 P∞                                ch
                                                         (2n+1)π(b−x2 )
      U = 16Qa
           kπ 3
                          1
                   n=0 (2n+1)3 [1 −
                                                               2a
                                                                          ] sin (2n+1)πx
                                                                                    a
                                                                                         1
                                                                                           .
                                                         ch (2n+1)πb
                                                               2a


     16.8. Записать оператор Лапласа при n = 2 в полярных коорди-
натах.



                                                      101

Страницы