Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

то
есть
a
2
= −
a
0
2
2
(ν +
1)
, a
4
= −
a
2
2
2
(ν +
2)2
=
a
0
2
4
(ν +
2)(ν +
1)1 · 2
,
a
2n
=
(−1)
n
a
0
2
2n
(ν +
1)(ν + 2)
...(ν + n)n!
. (8)
Коэффициент a
0
у нас остается произвольным, поэтому выберем его
таким образом:
a
0
=
1
2
ν
Γ(1
+ ν)
, (9)
где Γ(
µ) - гамма-функция, определяемая для µ > 0 следующим обра-
зом:
Γ(µ) =
∞
Z
0
e
−x
x
µ−1
dx
(10)
Заметим, что из (10) следует, что Γ(1) = 1. Итак, выбрав a
0
согласно
(9), мы получим из (8):
a
2n
=
(−1)
n
2
ν+2n
Γ(1
+ ν)(ν +
1)(ν + 2)...(ν + n)n!
=
(−1)
n
2
2n+ν
Γ(n ν +
1)n!
,
(11)
при этом
мы учли свойство гамма-функции
Γ(µ + 1) = Γ(µ)µ = µ(µ − 1)...(µ − n)Γ(µ − n). (12)
Подставив (7) и (11) в (2), получим частное решение уравнения (1):
y(x) = J
ν
(x) =
∞
X
k=0
(−1)
k
(
x
2
)
ν+2k
k!Γ(k ν +
1)
, (13)
которое
называется функцией Бесселя I-го рода ν-го порядка. Ряд (13)
сходится при любом значении x, в чем нетрудно убедиться, применяя
признак Даламбера. Функция
J
−ν
(x) =) =
∞
X
k=0
(−1)
k
(
x
2
)
−ν+2k
k!Γ(k + ν +
1)
(14)
такж
е является решением уравнения (1). Оно получается из (13) про-
стой заменой ν на −ν, так как уравнение (1) содержит ν
2
и не меняется
заменой ν на −ν. Функциональное соотношение (12) позволяет опре-
делить гамма-функцию для неположительных значений µ. Заметим,
что
Γ(0) = ∞, Γ(−n) = ∞ ∈ N. (15)
109
−
,
n
−
то есть

                   a0                    a2               a0
      a2 = −              , a 4 = −            =                       ,
               22 (ν + 1)           22 (ν + 2)2 24 (ν + 2)(ν + 1)1 · 2
                               (−1)n a0
               a2n = 2n                           .         (8)
                     2 (ν + 1)(ν + 2)...(ν + n)n!
Коэффициент a0 у нас остается произвольным, поэтому выберем его
таким образом:
                                   1
                              a0 =        ,                  (9)
                              2ν Γ(1 + ν)
где Γ(µ) - гамма-функция, определяемая для µ > 0 следующим обра-
зом:
                                     Z∞
                            Γ(µ) =        e−x xµ−1 dx                      (10)
                                     0
Заметим, что из (10) следует, что Γ(1) = 1. Итак, выбрав a0 согласно
(9), мы получим из (8):
                       (−1)n                          (−1)n
 a2n = ν+2n                                   =                     ,
       2    Γ(1 + ν)(ν + 1)(ν + 2)...(ν + n)n! 22n+ν Γ(n − ν + 1)n!
                                                                 (11)
при этом мы учли свойство гамма-функции

           Γ(µ + 1) = Γ(µ)µ = µ(µ − 1)...(µ − n)Γ(µ − n).      (12)
Подставив (7) и (11) в (2), получим частное решение уравнения (1):
                                    ∞
                                    X  (−1)k ( x2 )ν+2k
                    y(x) = Jν (x) =                     ,                  (13)
                                      k!Γ(k − ν + 1)
                                      k=0
которое называется функцией Бесселя I-го рода ν-го порядка. Ряд (13)
сходится при любом значении x, в чем нетрудно убедиться, применяя
признак Даламбера. Функция
                                   ∞
                                   X (−1)k ( x2 )−ν+2k
                      J−ν (x) =) =                                         (14)
                                     k!Γ(k + ν + 1)
                                     k=0

также является решением уравнения (1). Оно получается из (13) про-
стой заменой ν на −ν, так как уравнение (1) содержит ν 2 и не меняется
заменой ν на −ν. Функциональное соотношение (12) позволяет опре-
делить гамма-функцию для неположительных значений µ. Заметим,
что
                   Γ(0) = ∞, Γ(−n) = ∞, n ∈ N.                    (15)

                                      109

Страницы