Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Для
функций Бесселя
имеют место рекуррентные формулы, связыва-
ющие функции различных порядков. Для функций Бесселя I-го рода
эти формулы имеют вид:
J
0
ν
(x) = J
ν−1
(x) −
ν
x
J
ν
(x), (18)
J
0
ν
(x)
= −J
ν+1
(
x) +
ν
x
J
ν
(x), (19)
J
ν+1
(x)
=
2ν
x
J
ν
(x) − J
ν−1
(x). (20)
Эти
формулы
позволяют выразить функции Бесселя порядка ν > 1
через функции J
0
(x)и J
1
(x). Функции J
0
(x)и J
1
(x) представляются
следующими рядами:
J
0
(x) = 1 − (
x
2
)
2
+
1
(2!)
2
(
x
2
)
4
−
1
(3!)
2
(
x
2
)
6
+ ...,
J
1
(x)
=
x
2
−
1
2!
(
x
2
)
3
+
1
2!3!
(
x
2
)
5
− ....
Для
них имеютс
я подробные таблицы. Графики функций J
0
(x)и J
1
(x)
имеют следующий вид:
Формулы (18) и (19) проверяются непосредственным дифферен-
цированием рядов для бесселевых функций.
Функции Бесселя I-го рода при ν ∈ Z просто связаны с коэффи-
циентами разложения функции w(x, z) = e
x
2
(z−1/z)
в
ряд
Лорана по по-
ложительным и отрицательным степеням z, а именно при 0 < |z| < ∞
имеет место разложение
e
x
2
(z−1/z)
=
∞
X
n=−∞
J
n
(x)z
n
= J
0
(x)
+
∞
X
n=1
J
n
(
x)[z
n
+ (−1)
n
z
−n
] (21)
Коэффициенты разложения могут быть вычислены путем перемноже-
ния степенных рядов, дающих разложение функций e
xz
2
и e
−
xz
2
.
Функ-
ция w(x,
z) называется производящей функцией для функции Бесселя
с целым значком. С помощью разложения (21) можно суммировать
111
Для функций Бесселя имеют место рекуррентные формулы, связыва-
ющие функции различных порядков. Для функций Бесселя I-го рода
эти формулы имеют вид:
                                                    ν
                                Jν0 (x) = Jν−1 (x) − Jν (x),                         (18)
                                                    x
                                                     ν
                               Jν0 (x) = −Jν+1 (x) + Jν (x),                         (19)
                                                     x
                              2ν
                              Jν+1 (x) =
                                 Jν (x) − Jν−1 (x).             (20)
                               x
Эти формулы позволяют выразить функции Бесселя порядка ν > 1
через функции J0 (x)и J1 (x). Функции J0 (x)и J1 (x) представляются
следующими рядами:
                                 x       1 x 4       1 x 6
                   J0 (x) = 1 − ( )2 +      (  ) −      ( ) + ...,
                                 2     (2!)2 2     (3!)2 2
                       x   1 x      1 x 5
                         − ( )3 +
                         J1 (x) =      ( ) − ....
                       2 2! 2      2!3! 2
Для них имеются подробные таблицы. Графики функций J0 (x)и J1 (x)
имеют следующий вид:




     Формулы (18) и (19) проверяются непосредственным дифферен-
цированием рядов для бесселевых функций.
     Функции Бесселя I-го рода при ν ∈ Z просто связаны с коэффи-
                                        x
циентами разложения функции w(x, z) = e 2 (z−1/z) в ряд Лорана по по-
ложительным и отрицательным степеням z, а именно при 0 < |z| < ∞
имеет место разложение
                       ∞
                       X                           ∞
                                                   X
       x
   e   2 (z−1/z)   =                n
                              Jn (x)z = J0 (x) +         Jn (x)[z n + (−1)n z −n ]   (21)
                       n=−∞                        n=1

Коэффициенты разложения могут быть вычислены путемxz
                                                     перемноже-
                                                       xz
ния степенных рядов, дающих разложение функций e и e− 2 . Функ-
                                                   2

ция w(x, z) называется производящей функцией для функции Бесселя
с целым значком. С помощью разложения (21) можно суммировать

                                            111

Страницы