Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z
l
0
xJ
ν
(k
1
x)J
ν
(k
2
x)dx =
l[k
1
J
0
ν
(k
1
l)J
ν
(k
2
l) − k
2
J
0
ν
(k
2
l)J
ν
(k
1
l)]
k
2
2
− k
2
1
, (24)
г
де "
0
"обозна
чает дифференцирование по аргументу. При l = 1 эта
формула принимает вид:
(k
2
2
− k
2
1
)
Z
1
0
xJ
ν
(k
1
x)J
ν
(k
2
x)dx = k
1
J
0
ν
(k
1
)J
ν
(k
2
) − k
2
J
0
ν
(k
2
)J
ν
(k
1
).
Пусть k
1
=
µ
i
l
,
k
2
=
µ
j
l
,
где µ
i
и µ
j
-два
различных положительных
корня уравнения
J
ν
(x) = 0, (25)
тогда (24) дает
Z
l
0
xJ
ν
(µ
i
x
l
)J
ν
(µ
j
x
l
)dx =
0 (
i 6= j). (26)
Пусть теперь k =
µ
l
, г
де µ -
положительный корень уравнения (25).
Возьмем формулу (24), в которой положим k
1
= k, а k
2
будем считать
переменным и стремящимся к k, тогда получим
l
Z
0
xJ
ν
(kx)J
ν
(k
2
x)dx =
lkJ
0
ν
(kl)J
ν
(k
2
l)
k
2
2
− k
2
.
При k
2
−
→ k правая часть
этого равенства становится неопределен-
ной, так как числитель и знаменатель стремятся к нулю. Раскрыв эту
неопределенность по правилу Лопиталя, получим
Z
l
0
xJ
2
ν
(µ
x
l
)dx =
l
2
2
J
0
2
ν
(µ).
Поло
жив в
формуле (19) x = µ и приняв во внимание, что µ есть
корень уравнения (25), получим J
ν
(µ) = −J
ν+1
(µ). Таким образом,
мы имеем следующее свойство ортогональности функций Бесселя на
интервале [0, l] с весом ρ(x) ≡ x:
Z
l
0
xJ
ν
(µ
i
x
l
)J
ν
(µ
j
x
l
)dx =
½
0,
i 6= j
l
2
2
J
0
2
ν
(µ
i
)
=
l
2
2
J
2
ν+1
(µ
i
),
i = j.
(27)
Р
ассмотрим теперь более общее уравнение
αJ
ν
(x) + βxJ
0
ν
(x) = 0 (ν > −1), (28)
где α и β - заданные вещественные числа, причем
α
β
+ ν ≥ 0. Пу
сть
k
1
=
µ
i
l
,
k
2
=
µ
j
l
,
где µ
i
,
µ
j
- различные корни уравнения (28), то есть
113
  Z       l
                                             l[k1 Jν0 (k1 l)Jν (k2 l) − k2 Jν0 (k2 l)Jν (k1 l)]
              xJν (k1 x)Jν (k2 x)dx =                                                           ,   (24)
      0                                                          k22 − k12
где "0 "обозначает дифференцирование по аргументу. При l = 1 эта
формула принимает вид:
             Z 1
    2     2
  (k2 − k1 )     xJν (k1 x)Jν (k2 x)dx = k1 Jν0 (k1 )Jν (k2 ) − k2 Jν0 (k2 )Jν (k1 ).
                     0
                                       µ
Пусть k1 = µli , k2 = lj , где µi и µj -два различных положительных
корня уравнения

                                                 Jν (x) = 0,                                        (25)
тогда (24) дает
                             Z    l
                                             x       x
                                      xJν (µi )Jν (µj )dx = 0           (i 6= j).                   (26)
                              0              l       l
Пусть теперь k = µl , где µ - положительный корень уравнения (25).
Возьмем формулу (24), в которой положим k1 = k, а k2 будем считать
переменным и стремящимся к k, тогда получим
                         Zl
                                                       lkJν0 (kl)Jν (k2 l)
                                 xJν (kx)Jν (k2 x)dx =                     .
                                                            k22 − k 2
                         0
При k2 −→ k правая часть этого равенства становится неопределен-
ной, так как числитель и знаменатель стремятся к нулю. Раскрыв эту
неопределенность по правилу Лопиталя, получим
                        Z l
                              2   x          l2 0 2
                            xJν (µ )dx = J ν (µ).
                         0        l           2
Положив в формуле (19) x = µ и приняв во внимание, что µ есть
корень уравнения (25), получим Jν (µ) = −Jν+1 (µ). Таким образом,
мы имеем следующее свойство ортогональности функций Бесселя на
интервале [0, l] с весом ρ(x) ≡ x:
    Z l                         ½
               x       x          0, i 6= j
        xJν (µi )Jν (µj )dx = l2 0 2              l2 2                (27)
     0         l       l           2 J ν (µi ) = 2 Jν+1 (µi ), i = j.
Рассмотрим теперь более общее уравнение

                     αJν (x) + βxJν0 (x) = 0   (ν > −1),              (28)
где α и β - заданные вещественные числа, причем αβ + ν ≥ 0. Пусть
                µ
k1 = µli , k2 = lj , где µi , µj - различные корни уравнения (28), то есть

                                                      113

Страницы