ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
г
де {µ
i
}
∞
1
-
положительные корни уравнения (25), расположенные в
порядке возрастания.
Для определения коэффициентов a
i
умножим обе части разло-
жения (30) на xJ
ν
(µ
i
x
l
) и
проинтегрируем
по отрезку [0, l], считая при
этом возможным почленное интегрирование. Тогда, приняв во внима-
ние формулу (27), получим, что
a
i
=
2
l
2
J
2
ν+1
(µ
i
)
Z
l
0
xJ
ν
(µ
i
x
l
)F (x)dx. (31)
Р
азлож
ение (30), в котором коэффициtнты определяются по формуле
(31), называется разложением функции F (x) в ряд Фурье-Бесселя.
В задачах математической физики часто встречаются следую-
щие ряды по функциям Бесселя:
F (x) =
∞
X
i=1
b
i
J
ν
(µ
i
x
l
), (32)
г
де {µ
i
}
∞
1
-
положительные корни уравнения (28), расположенные в по-
рядке возрастания. Коэффициенты b
i
в силу ортогональности функ-
ций Бесселя и формулы (29) определяются по формуле:
b
i
=
2
l
2
(1
+
α
2
−β
2
ν
2
β
2
µ
2
i
)J
2
ν
(µ
i
)
Z
l
0
xF (x)J
ν
(µ
i
x
l
)dx. (33)
Р
азлож
ение (32), в котором коэффициенты b
i
определяются по фор-
муле (33), называется разложением функции в ряд Дини-Бесселя.
Если
α
β
+ ν =
0,
то x
ν
ортогональна к функциям J
ν
(µ
i
x
l
) с
весом
x на отрезк
е [0, l], а поэтому разложение (32) должно быть заменено
следующим:
F (x) = b
0
x
ν
+
∞
X
i=1
b
i
J
ν
(µ
i
x
l
). (34)
В
этом случае
уравнение (28) можно записать в следующем виде:
J
0
ν
(x) =
ν
x
J
ν
(x) или,
в силу
формулы (19), будем иметь
J
ν+1
(x) = 0, (35)
то есть µ
1
, µ
2
, ... будут корнями уравнения (35).
Для определения коэффициента b
0
умножим обе части разложе-
ния (34) на x
ν+1
и проинтегрируем по x от 0 до l, считая при этом
возможным почленное интегрирование. Тогда получим
Z
l
0
x
ν+1
F (x)dx =
b
0
l
2ν+2
2ν +
2
+
∞
X
i=1
b
i
Z
l
0
x
ν+1
J
ν
(µ
i
x
l
)dx. (36)
115
где {µi }∞
1 - положительные корни уравнения (25), расположенные в
порядке возрастания.
Для определения коэффициентов ai умножим обе части разло-
жения (30) на xJν (µi xl ) и проинтегрируем по отрезку [0, l], считая при
этом возможным почленное интегрирование. Тогда, приняв во внима-
ние формулу (27), получим, что
Z l
2 x
ai = 2 2 xJν (µi )F (x)dx. (31)
l Jν+1 (µi ) 0 l
Разложение (30), в котором коэффициtнты определяются по формуле
(31), называется разложением функции F (x) в ряд Фурье-Бесселя.
В задачах математической физики часто встречаются следую-
щие ряды по функциям Бесселя:
∞
X x
F (x) = bi Jν (µi ), (32)
i=1
l
где{µi }∞
1 -
положительные корни уравнения (28), расположенные в по-
рядке возрастания. Коэффициенты bi в силу ортогональности функ-
ций Бесселя и формулы (29) определяются по формуле:
Z l
2 x
bi = 2 2ν2 xF (x)J ν (µ i )dx. (33)
l2 (1 + α β−β
2µ 2 )J 2 (µ ) 0
ν i l
i
Разложение (32), в котором коэффициенты bi определяются по фор-
муле (33), называется разложением функции в ряд Дини-Бесселя.
Если αβ + ν = 0, то xν ортогональна к функциям Jν (µi xl ) с весом
x на отрезке [0, l], а поэтому разложение (32) должно быть заменено
следующим:
∞
X
ν x
F (x) = b0 x + bi Jν (µi ). (34)
i=1
l
В этом случае уравнение (28) можно записать в следующем виде:
Jν0 (x) = xν Jν (x) или, в силу формулы (19), будем иметь
Jν+1 (x) = 0, (35)
то есть µ1 , µ2 , ... будут корнями уравнения (35).
Для определения коэффициента b0 умножим обе части разложе-
ния (34) на xν+1 и проинтегрируем по x от 0 до l, считая при этом
возможным почленное интегрирование. Тогда получим
Z ∞ Z
l
ν+1 b0 l2ν+2 X l
x
x F (x)dx = + bi xν+1 Jν (µi )dx. (36)
0 2ν + 2 i=1 0 l
115
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- …
- следующая ›
- последняя »
