Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

18.7. Док
азать то
ждества:
a)J
0
0
(x) = −J
1
(x), (46)
b)[xJ
1
(x)]
0
= xJ
0
(x), (47)
c)
Z
x
0
ξJ
0
(ξ)dξ = xJ
1
(x), (48)
d)
d
dx
[x
p
J
p
(x)]
= x
p
J
p−
1
(x), p ∈ R. (49)
Р е ш е н и е. а)
J
0
0
(x) =
∞
X
k=1
(−1)
k
2kx
2k−1
2
2k
k!Γ(k +
1)
=
∞
X
k
0
=0
(−
1)
k
0
+1
2(k
0
+ 1)x
2k
0
+1
2
2k
0
+2
(k
0
+
1)!Γ(k
0
+
1)
=
= −
∞
X
k=0
(−1)
k
x
2k+1
2
2k+1
k!Γ(k +
1)
= −J
1
(
x).
У к а з а н и е. Для доказательства (47) выразить функцию
J
0
(x) через функцию J
1
(x), используя дифференциальное уравнение
Бесселя (1) при
ν
= 0
и тождество (46). Интегрируя (47) с учетом
того, что J
1
(0) = 0, получим (48). Тождество (49) доказано в задаче
18.3.
18.8. Вычислить
1
R
0
xJ
0
(µ
i
x)dx, где µ
i
- i-й корень функции Бес-
селя J
0
(x).
У к а з а н и е. Выразить функцию J
0
(x) через ее произ-
водные первого и второго порядка, используя уравнение Бесселя (1),
и применить интегрирование по частям. Учесть также, что J
1
(0) = 0.
О т в е т:
1
R
0
xJ
0
(µ
i
x)dx = −
1
µ
i
J
0
0
(µ
i
).
18.9. Док
азать то
ждество (16).
Р е ш е н и е. На основании (13) имеем
J
n
(x) =
∞
X
k=0
(−1)
k
(
x
2
)
2k−n
k!Γ(k − n +
1)
. (50)
Величина k−n+1 при k =
0, 1, ...n−1 принимает целые отрицательные
значения или нуль. Но в силу (15) в этом случае Γ(k − n + 1) = ∞.
Таким образом, первые члены разложения в (50) обратятся в нуль, и
мы получим
J
−n
(x) =
∞
X
k
0
=n
(−1)
k
0
(
x
2
)
−n+2k
0
(k
0
!)!Γ(k
0
− n +
1)
118
     18.7. Доказать тождества:
                                      a)J00 (x) = −J1 (x),                                              (46)

                                     b)[xJ1 (x)]0 = xJ0 (x),                                            (47)
                                     Z       x
                                c)               ξJ0 (ξ)dξ = xJ1 (x),                                   (48)
                                         0
                 d p
                   [x Jp (x)] = xp Jp−1 (x), p ∈ R.
                          d)                                                                            (49)
                dx
     Р е ш е н и е. а)
                    ∞
                    X                                       ∞
                                                            X      0                0
                      (−1)k 2kx2k−1                           (−1)k +1 2(k 0 + 1)x2k +1
      J00 (x)   =                                       =                                           =
                          22k k!Γ(k + 1)                             22k0 +2 (k 0 + 1)!Γ(k 0 + 1)
                    k=1                                     k 0 =0
                                ∞
                                X       (−1)k x2k+1
                          =−                           = −J1 (x).
                                      22k+1 k!Γ(k + 1)
                                k=0
       У к а з а н и е. Для доказательства (47) выразить функцию
J0 (x) через функцию J1 (x), используя дифференциальное уравнение
Бесселя (1) при ν = 0 и тождество (46). Интегрируя (47) с учетом
того, что J1 (0) = 0, получим (48). Тождество (49) доказано в задаче
18.3.
                        R1
       18.8. Вычислить xJ0 (µi x)dx, где µi - i-й корень функции Бес-
                                 0
селя J0 (x).
     У к а з а н и е. Выразить функцию J0 (x) через ее произ-
водные первого и второго порядка, используя уравнение Бесселя (1),
и применить интегрирование по частям. Учесть также, что J1 (0) = 0.
               R1
     О т в е т: xJ0 (µi x)dx = − µ1i J00 (µi ).
                     0
     18.9. Доказать тождество (16).
     Р е ш е н и е. На основании (13) имеем
                                        ∞
                                        X  (−1)k ( x2 )2k−n
                               Jn (x) =                     .                                           (50)
                                          k!Γ(k − n + 1)
                                                  k=0
Величина k−n+1 при k = 0, 1, ...n−1 принимает целые отрицательные
значения или нуль. Но в силу (15) в этом случае Γ(k − n + 1) = ∞.
Таким образом, первые члены разложения в (50) обратятся в нуль, и
мы получим
                            ∞
                            X             0         0
                                  (−1)k ( x2 )−n+2k
                  J−n (x) =
                            0
                                (k 0 !)!Γ(k 0 − n + 1)
                                                 k =n

                                                        118

Страницы