Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

J
Полаг
ая в
(55) z = 1, будем иметь
∞
X
n=1
n
2
[1 + (−1)
n
]J
n
(x) = x
2
,
откуда получим
∞
X
n=1
(2n)
2
J
2n
(x) = x
2
,
так как коэффициент при J
n
(x) равен нулю, если n - нечетное число.
У к а з а н и е. Для суммирования рядов (51) и (52)
необходимо записать разложение (21) при z = i и приравнять веще-
ственную и мнимую часть левой и правой части, при этом учесть, что
i
2k
= i
−2k
= (−1)
k
, i
2k+1
= i(−1)
k
, i
−{2k+1}
= −i(−1)
k
.
О т в е т: b) f(x) =
sin x
2
,
c) f(x)
= cos x.
18.11. Р
азложить функцию f(x) ≡ 1 на отрезке [0, 1] в ряд по
функциям Бесселя нулевого порядка.
Р е ш е н и е. 1 =
P
∞
i=1
a
i
J
0
(µ
i
x), тогда в силу формулы (31)
имеем:
a
i
=
2
J
2
1
(µ
i
)
Z
1
0
xJ
0
(µ
i
x)dx = −
2
J
2
1
(µ
i
)
1
µ
i
J
0
0
(µ
i
)
=
= −
2
J
02
0
(µ
i
)
1
µ
i
J
0
0
(µ
i
)
=
2
µ
i
J
0
0
(µ
i
)
,
при
этом мы
использовали результат задачи 18.8 и формулу (46).
Д о м а ш н е е з а д а н и е
18.12. Вывести рекуррентные формулы (19) и (20).
У к а з а н и е. Вывод формулы (19) проводится аналогично
выводу формулы (18), при этом рассматривается выражение
d
dx
[
J
ν
(x)
x
ν
].
Вычит
ая из
(18) (19), легко получить (20).
З а м е ч а н и е. Из хода доказательства (19) следует, что
имеет место тождество
d
dx
[x
−p
J
p
(x)]
= −x
p+1
(
x), p ∈ R.
18.13. Доказать формулу
J
−1/2
(x) =
r
2
π
x
cos x.
У к
а з а н и е. Учесть формулу (44) и разложение
cos x =
∞
X
k=0
x
2k
(−1)
k
(2k)!
.
120
−
−p
/
Полагая в (55) z = 1, будем иметь
                       ∞
                       X
                              n2 [1 + (−1)n ]Jn (x) = x2 ,
                        n=1

откуда получим
                              ∞
                              X
                                (2n)2 J2n (x) = x2 ,
                              n=1
так как коэффициент при Jn (x) равен нулю, если n - нечетное число.
      У к а з а н и е. Для суммирования рядов (51) и (52)
необходимо записать разложение (21) при z = i и приравнять веще-
ственную и мнимую часть левой и правой части, при этом учесть, что
i2k = i−2k = (−1)k , i2k+1 = i(−1)k , i−{2k+1} = −i(−1)k .
      О т в е т: b) f (x) = sin2 x ,
      c) f (x) = cos x.
      18.11. Разложить функцию f (x) ≡ 1 на отрезке [0, 1] в ряд по
функциям Бесселя нулевогоPпорядка.
      Р е ш е н и е. 1 = ∞          i=1 ai J0 (µi x), тогда в силу формулы (31)
имеем:                    Z 1
                     2                                 2 1 0
             ai = 2           xJ0 (µi x)dx = − 2                J (µi ) =
                  J1 (µi ) 0                        J1 (µi ) µi 0
                              2      1 0                     2
                      = − 02            J0 (µi ) = −                 ,
                           J0 (µi ) µi                  µi J00 (µi )
при этом мы использовали результат задачи 18.8 и формулу (46).
                 Д о м а ш н е е                з а д а н и е
     18.12. Вывести рекуррентные формулы (19) и (20).
     У к а з а н и е. Вывод формулы (19) проводится аналогично
                                                         d Jν (x)
выводу формулы (18), при этом рассматривается выражение dx [ xν ].
Вычитая из (18) (19), легко получить (20).
     З а м е ч а н и е. Из хода доказательства (19) следует, что
имеет место тождество
                  d −p
                    [x Jp (x)] = −x−pJ p+1 (x), p ∈ /R.
                 dx
     18.13. Доказать формулу
                                    r
                                       2
                        J−1/2 (x) =      cos x.
                                      πx
      У к а з а н и е. Учесть формулу (44) и разложение
                                        ∞
                                        X x2k (−1)k
                              cos x =                  .
                                               (2k)!
                                        k=0

                                         120

Страницы