Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

По
дставляя
(19) в (17
0
), будем иметь
dR
dr
|
r=r
0
=
0. (22)
Общее
решение уравнения (21) имеет вид:
R(r) = C
1
J
0
(
√
λr)
+ C
2
Y (
√
λr).
Как
и в
задаче 19.1, в силу (18), имеем C
2
= 0, тогда граничное условие
(22) дает
J
0
0
(
√
λr)
= 0
, (23)
или, пользуясь равенством J
0
0
(x) = −J
1
(x) (см. формулу (46) занятия
18), уравнение (23) можно заменить следующим
J
1
(
√
λr)
= 0
. (24)
Как было отмечено (см. занятие 18), уравнение (24) имеет бесчислен-
ное множество положительных корней.Таким образом, собственными
значениями задачи (21), (22) являются числа λ
k
= (
µ
k
r
0
)
2
,
k = 1, 2
, ...,
где µ
k
- корни уравнения J
1
(x) = 0. Каждому собственному значению
λ
k
соответствует собственная функция R
k
(r) = J
0
(
µ
k
r
0
r). Отметим,
что
λ
0
= 0 в
данном случае является собственным значением, которому
соответствует собственная функция R
0
(r) ≡ 1.
При λ = λ
k
, k 6= 0 общее решение уравнения (20) имеет вид:
T
k
(t) = a
k
cos
µ
k
at
r
0
+ b
k
sin
µ
k
at
r
0
,
г
де a
k
, b
k
-
произвольные постоянные.
При λ
0
= 0 T
0
(t) = a
0
+ b
0
t. В силу (19) получим, что функции
U
0
(r, t) = a
0
+b
0
t,
k
(r, t) = (a
k
cos
µ
k
at
r
0
+b
k
sin
µ
k
at
r
0
)J
0
(
µ
k
r
r
0
),
k = 1, 2
, ...
удовлетворяют уравнению (16
0
) и граничному условию (17
0
) при лю-
бых a
k
, b
k
, k = 0, 1, .... Далее, решение задачи ищем в виде ряда:
U(r, t) = a
0
+ b
0
t +
∞
X
k=1
(a
k
cos
µ
k
at
r
0
+ b
k
sin
µ
k
at
r
0
)J
0
(
µ
k
r
0
r).
Для
выполнения на
чальных условий (15) необходимо, чтобы
ϕ(r) = a
0
+
∞
X
k=1
J
0
(
µ
k
r
r
0
), (25)
127
U
Подставляя (19) в (170 ), будем иметь
                                 dR
                                    |r=r0 = 0.                             (22)
                                 dr
Общее решение уравнения (21) имеет вид:
                              √            √
                R(r) = C1 J0 ( λr) + C2 Y ( λr).
Как и в задаче 19.1, в силу (18), имеем C2 = 0, тогда граничное условие
(22) дает                          √
                              J00 ( λr) = 0,                       (23)
или, пользуясь равенством J00 (x) = −J1 (x) (см. формулу (46) занятия
18), уравнение (23) можно заменить следующим
                                √
                           J1 ( λr) = 0.                          (24)
Как было отмечено (см. занятие 18), уравнение (24) имеет бесчислен-
ное множество положительных корней.Таким образом, собственными
значениями задачи (21), (22) являются числа λk = ( µr0k )2 , k = 1, 2, ...,
где µk - корни уравнения J1 (x) = 0. Каждому собственному значению
λk соответствует собственная функция Rk (r) = J0 ( µr0k r). Отметим, что
λ0 = 0 в данном случае является собственным значением, которому
соответствует собственная функция R0 (r) ≡ 1.
      При λ = λk , k 6= 0 общее решение уравнения (20) имеет вид:
                                    µk at          µk at
                     Tk (t) = ak cos      + bk sin       ,
                                     r0             r0
где ak , bk - произвольные постоянные.
      При λ0 = 0 T0 (t) = a0 + b0 t. В силу (19) получим, что функции

                              U0 (r, t) = a0 +b0 t,
                                µk at          µk at       µk r
           Uk (r, t) = (ak cos         +bk sin       )J0 (      ), k = 1, 2, ...
                                  r0             r0         r0
удовлетворяют уравнению (160 ) и граничному условию (170 ) при лю-
бых ak , bk , k = 0, 1, .... Далее, решение задачи ищем в виде ряда:
                                X ∞
                                              µk at            µk at      µk
       U (r, t) = a0 + b0 t +         (ak cos       + bk sin         )J0 ( r).
                                               r0                r0       r0
                              k=1

Для выполнения начальных условий (15) необходимо, чтобы
                                        ∞
                                        X            µk r
                          ϕ(r) = a0 +         J0 (        ),               (25)
                                                      r0
                                        k=1



                                       127

Страницы