Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

.
для
обыкновенного дифференциального
уравнения (35). Перепишем
уравнение (35) в виде (W
0
r)
0
+
P
T
0
r =
0, откуда, интегрируя, получим
W (r) = −
P
4T
0
r
2
+ C
1
ln r + C
2
.
В
силу второго
условия (36) имеем C
1
= 0. Используя первое условие
(36), получим C
2
=
P r
2
0
4T
0
. Т
аким образом, W (
r) =
P
4T
0
(r
2
0
− r
2
). Т
огда
зада
ча для V (r, t) будет иметь вид:
V
tt
= a
2
(V
rr
+
1
r
V
r
),
V (r
, 0) = −W (r), V
t
(r, 0) = 0,
V (r
0
, t) = 0, V (0, t) = O(1),
то есть мы получили задачу, рассмотренную в 18.1. Поэтому, повторяя
те же самые выкладки, получим
V (r, t) = −
∞
X
k=1
2r
2
0
J
1
(µ
k
)µ
3
k
cos
aµ
k
t
r
0
J
0
(
µ
k
r
0
r).
19.5. Р
ешить уравнение
U
tt
= a
2
(
U
rr
+
1
r
U
r
)
+ A sin wt, 0 <
r < r
0
, t > 0, A − const (37)
при условиях
U(r, 0) = 0, U
t
(r, 0) = 0,
U(r
0
, t) = 0, U(0, t) = O(1). (38)
У к а з а н и е. Решение задачи следует искать в виде сум-
мы U(r, t) = V (r, t) + W (r, t), где V (r, t) есть решение неоднородного
уравнения (37), удовлетворяющее граничным условиям (38), причем
V (r, t) следует искать в виде V (r, t) = R(r) sin wt, а W (r, t) есть реше-
ние соответствующего однородного уравнения W
tt
= a
2
(W
rr
+ 1/rW
r
)
при условиях W (r, 0) = −V (r, 0), W
t
(r, 0) = −V
t
(r, 0), W (r
0
, t) =
0, W (0, t) = O(1). Для определения R(r) получим задачу:
R
00
(r) +
1
r
R
0
(r)
+
ω
2
a
2
R(r)
= −
A
a
2
, (39)
R(r
0
)
= 0
, R(0) = O(1), (40)
то есть для определения решения соответствующего однородного урав-
нения имеем уравнение Бесселя при ν = 0. Общее решение уравне-
ния Бесселя имеет вид: R
0
(r) = C
1
J
0
(
ω
a
r)
+ C
2
Y
0
(
)
Частное реше-
ние R
1
(
r) уравнения (39) можно отыскивать в виде R
1
(r) = B, где
130
ω
a
r
для обыкновенного дифференциального уравнения (35). Перепишем
уравнение (35) в виде (W 0 r)0 + TP0 r = 0, откуда, интегрируя, получим

                                       P 2
                     W (r) = −            r + C1 ln r + C2 .
                                      4T0
В силу второго условия (36) имеем C1 = 0. Используя первое условие
                        2
(36), получим C2 = P4Tr00 . Таким образом, W (r) = 4TP 0 (r02 − r2 ). Тогда
задача для V (r, t) будет иметь вид:
                                              1
                               Vtt = a2 (Vrr + Vr ),
                                              r
                      V (r, 0) = −W (r), Vt (r, 0) = 0,
                           V (r0 , t) = 0, V (0, t) = O(1),
то есть мы получили задачу, рассмотренную в 18.1. Поэтому, повторяя
те же самые выкладки, получим
                                ∞
                                X         2r02       aµk t µk
                V (r, t) = −                   3 cos      J0 ( r).
                                      J1 (µk )µk      r0      r0
                                k=1


      19.5. Решить уравнение
                   1
    Utt = a2 (Urr + Ur ) + A sin wt, 0 < r < r0 , t > 0, A − const      (37)
                   r
при условиях
                        U (r, 0) = 0, Ut (r, 0) = 0,
                           U (r0 , t) = 0, U (0, t) = O(1).             (38)
       У к а з а н и е. Решение задачи следует искать в виде сум-
мы U (r, t) = V (r, t) + W (r, t), где V (r, t) есть решение неоднородного
уравнения (37), удовлетворяющее граничным условиям (38), причем
V (r, t) следует искать в виде V (r, t) = R(r) sin wt, а W (r, t) есть реше-
ние соответствующего однородного уравнения Wtt = a2 (Wrr + 1/rWr )
при условиях W (r, 0) = −V (r, 0), Wt (r, 0) = −Vt (r, 0), W (r0 , t) =
0, W (0, t) = O(1). Для определения R(r) получим задачу:

                      00   1 0        ω2         A
                    R (r) + R (r) + 2 R(r) = − 2 ,                      (39)
                           r          a          a
                        R(r0 ) = 0, R(0) = O(1),                        (40)
то есть для определения решения соответствующего однородного урав-
нения имеем уравнение Бесселя при ν = 0. Общее решение уравне-
                                                        ω
ния Бесселя имеет вид: R0 (r) = C1 J0 ( ωa r) + C2 Y0 ( a r ) . Частное реше-
ние R1 (r) уравнения (39) можно отыскивать в виде R1 (r) = B, где

                                         130

Страницы