Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

по
ддерживаетс
я при постоянной температуре U
0
. Начальная темпера-
тура внутри цилиндра равна нулю.
О т в е т:
U(r, t) = U
0
+
∞
P
k=1
a
k
J
0
(
µ
k
r
0
r)e
−(
µ
k
a
r
0
)
2
t
, г
де a
k
=
2U
0
µ
k
J
0
0
(
µ
k
)
.
З
А Н Я Т И Е 20
Тема. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Пусть функция f(x) задана на прямой (−∞, ∞), причем непре-
рывна и имеет кусочно-непрерывную производную первого порядка
на любом конечном интервале. Пусть f(x) абсолютно интегрируема в
промежутке (−∞, ∞). Тогда функция
ˆ
f(λ) =
1
√
2π
Z
∞
−∞
f(ξ)e
iλξ
dξ (1)
называетс
я интегральным
преобразованием Фурье функции f(x), а
K(λ, ξ) = e
iλξ
- его ядром. Функция f(x) выражается через свое пре-
образование Фурье
ˆ
f(λ) следующим образом
f(x) =
1
√
2π
∞
Z
−∞
ˆ
f(λ)e
−iλx
dλ. (2)
Правая
часть форму
лы (2) называется обратным преобразованием Фу-
рье. Заметим при этом, что равенства (1), (2) можно поменять ролями,
то есть они являются взаимно обратными.
Пусть теперь функция f(x) задана лишь в промежутке [0, ∞) и
удовлетворяет условиям, аналогичным вышеуказанным, тогда функ-
ции
ˆ
f
c
(λ) =
r
2
π
∞
Z
0
f(ξ)
cos λξdξ
,
ˆ
f
s
(λ) =
r
2
π
∞
Z
0
f(ξ)
sin λξdξ (3)
называютс
я соответственно косинус-преобразованием и синус-
преобразованием Фурье для функции f(x), а функции
133
поддерживается при постоянной температуре U0 . Начальная темпера-
тура внутри цилиндра равна нулю.
     О т в е т:
                       P
                       ∞                       µk a 2
     U (r, t) = U0 +         ak J0 ( µr0k r)e−( r0 ) t
                                                         , где ak =   2U0
                                                                       µk J00 (µk )   .
                       k=1




                                 З А Н Я Т И Е 20

      Тема. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
             РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
                ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

      Пусть функция f (x) задана на прямой (−∞, ∞), причем непре-
рывна и имеет кусочно-непрерывную производную первого порядка
на любом конечном интервале. Пусть f (x) абсолютно интегрируема в
промежутке (−∞, ∞). Тогда функция
                                   Z ∞
                                1
                       fˆ(λ) = √       f (ξ)eiλξ dξ              (1)
                                 2π −∞
называется интегральным преобразованием Фурье функции f (x), а
K(λ, ξ) = eiλξ - его ядром. Функция f (x) выражается через свое пре-
образование Фурье fˆ(λ) следующим образом
                                            Z∞
                                    1
                           f (x) = √              fˆ(λ)e−iλx dλ.                             (2)
                                     2π
                                           −∞
Правая часть формулы (2) называется обратным преобразованием Фу-
рье. Заметим при этом, что равенства (1), (2) можно поменять ролями,
то есть они являются взаимно обратными.
      Пусть теперь функция f (x) задана лишь в промежутке [0, ∞) и
удовлетворяет условиям, аналогичным вышеуказанным, тогда функ-
ции

                r Z∞                           r Z∞
                 2                              2
      fˆc (λ) =      f (ξ) cos λξdξ, fˆs (λ) =      f (ξ) sin λξdξ                           (3)
                 π                              π
                       0                                         0

называются соответственно косинус-преобразованием                                     и   синус-
преобразованием Фурье для функции f (x), а функции

                                            133

Страницы