Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Преобразу
ем интегралы,
входящие в (9).
1
√
2π
∞
Z
−∞
U
t
(ξ
, t
)e
iλξ
dξ =
∂
∂
t
[
1
√
2π
∞
Z
−∞
U
e
iλξ
dξ] =
∂
U
ˆ
(λ, t)
∂
t
. (10)
К первому
интегралу правой части (9) применим интегрирование по
частям, при этом учтем (7)
a
2
√
2π
∞
Z
−∞
U
ξ
ξ
e
iλξ
dξ =
a
2
√
2π
U
ξ
e
iλξ
|
∞
−∞
−
a
2
iλ
√
2π
∞
Z
−∞
U
ξ
e
iλξ
dξ =
−
a
2
iλ
√
2π
U
e
iλξ
|
∞
−∞
+
a
2
(iλ)
2
√
2π
∞
Z
−∞
U
e
iλξ
dξ = −a
2
λ
2
U
ˆ
(
λ, t). (11)
Подставляя (10), (11) в (9), получаем уравнение
∂
ˆ
U(λ, t)
∂
t
+ a
2
λ
2
ˆ
U(λ,
t) =
ˆ
f(λ, t), (12)
где
ˆ
f(λ, t) =
1
√
2π
Z
∞
−∞
f(ξ
, t)
e
iλξ
dξ. (13)
Полагая теперь в (8) t = 0 и учитывая (6
0
), получим
ˆ
U(λ, 0) = 0. (14)
Итак, для
ˆ
U(λ, t) мы пришли к задаче (12), (14). Так как в (12) λ
входит как параметр, то (12) можно переписать в виде
d
ˆ
U(λ, t)
dt
+ a
2
λ
2
ˆ
U(λ,
t) =
ˆ
f(
λ, t), (15)
то есть для определения
ˆ
U(λ, t) мы пришли к задаче Коши для обык-
новенного дифференциального уравнения (15) с условием (14). Итак,
с помощью преобразования Фурье мы снизили число независимых пе-
ременных в дифференциальном уравнении и начальном условии на
единицу, то есть упростили задачу.
Решая (15), (14) методом вариации постоянной, получим
ˆ
U(λ, t) =
Z
t
0
ˆ
f(λ, τ)e
−a
2
λ
2
(t−τ)
dτ.
135
Преобразуем интегралы, входящие в (9).

             Z∞                                     Z∞
       1                               ∂ 1                              ∂U ˆ(λ, t)
      √           Ut (ξ, t)eiλξ dξ =     [√              U eiλξ dξ] =              .   (10)
        2π                             ∂t 2π                               ∂t
             −∞                                   −∞

К первому интегралу правой части (9) применим интегрирование по
частям, при этом учтем (7)

              Z∞                                                   Z∞
        a2              iλξ    a2   iλξ ∞  a2 iλ
       √           Uξξ e dξ = √ Uξ e |−∞ − √                            Uξ eiλξ dξ =
         2π                     2π           2π
              −∞                                                  −∞

                                             Z∞
          a2 iλ iλξ ∞ a2 (iλ)2
        − √ U e |−∞ + √                           U eiλξ dξ = −a2 λ2 U ˆ(λ, t).        (11)
            2π            2π
                                            −∞

Подставляя (10), (11) в (9), получаем уравнение

                        ∂ Û (λ, t)
                                    + a2 λ2 Û (λ, t) = fˆ(λ, t),                      (12)
                            ∂t
где
                                            Z   ∞
                                    1
                        fˆ(λ, t) = √                 f (ξ, t)eiλξ dξ.                  (13)
                                     2π         −∞

Полагая теперь в (8) t = 0 и учитывая (60 ), получим

                                       Û (λ, 0) = 0.                                  (14)
Итак, для Û (λ, t) мы пришли к задаче (12), (14). Так как в (12) λ
входит как параметр, то (12) можно переписать в виде

                    dÛ (λ, t)
                               + a2 λ2 Û (λ, t) = fˆ(λ, t),    (15)
                        dt
то есть для определения Û (λ, t) мы пришли к задаче Коши для обык-
новенного дифференциального уравнения (15) с условием (14). Итак,
с помощью преобразования Фурье мы снизили число независимых пе-
ременных в дифференциальном уравнении и начальном условии на
единицу, то есть упростили задачу.
      Решая (15), (14) методом вариации постоянной, получим
                               Z t
                                   fˆ(λ, τ )e−a λ (t−τ ) dτ.
                                                 2 2
                   Û (λ, t) =
                                       0



                                            135

Страницы