Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

С
помощью (20)
получим из (16)
U(x, t) =
1
2a
√
π
t
Z
0
Z
∞
−∞
f(ξ
, τ)
e
−
(
x−ξ)
2
4a
2
(t−τ)
√
t − τ
dξ
dτ.
20.2. Найти
решение задачи
U
t
= a
2
U
xx
, −∞ < x < ∞, t > 0
U(x, 0) = ϕ(x), −∞ < x < ∞
lim
x→±∞
U = lim
x→±∞
U
x
= 0
О т в е т :
U =
1
2a
√
π
t
R
∞
−∞
ϕ(ξ)
e
−
(x−ξ)
2
4a
2
t
dξ
.
20.3. Найти решение задачи
U
t
= a
2
U
xx
, 0 < x < ∞, t > 0
U(x, 0) = ϕ(x), 0 < x < ∞
U(0, t) = 0, 0 < t < ∞
lim
x→∞
U = lim
x→∞
U
x
= 0
У к а з а н и е. Для решения задачи применить синус-
преобразование Фурье
ˆ
U
s
(λ, t) =
r
2
π
∞
Z
0
U(ξ
, t
) sin λξdξ,
тогда для
ˆ
U
s
(λ, t) получим задачу
∂
ˆ
U
s
(λ, t)
∂
t
+ a
2
λ
2
ˆ
U
s
(λ,
t) = 0,
ˆ
U
s
(λ, 0) = ˆϕ
s
(λ).
Найдя
ˆ
U
s
(λ, t), с помощью формулы (4) получим U(x, t).
О т в е т :
137
.
.
,
,
,
,
,
С помощью (20) получим из (16)
                                     Zt Z   ∞              − 4a(x−ξ)
                                                                     2

                                1                          e    2 (t−τ )

                 U (x, t) =     √                 f (ξ, τ ) √              dξdτ.
                              2a π          −∞                  t−τ
                                     0


       20.2. Найти решение задачи

                        Ut = a2 Uxx , −∞ < x < ∞, t > 0 ,

                          U (x, 0) = ϕ(x), −∞ < x < ∞ ,

                               lim U = lim Ux = 0 .
                              x→±∞          x→±∞


       Ответ:
                  R∞        (x−ξ)2
       U = 2a√1 πt −∞ ϕ(ξ)e− 4a2 t dξ.

       20.3. Найти решение задачи

                          Ut = a2 Uxx , 0 < x < ∞, t > 0 ,

                            U (x, 0) = ϕ(x), 0 < x < ∞ ,

                              U (0, t) = 0, 0 < t < ∞ ,

                                lim U = lim Ux = 0 .
                               x→∞          x→∞
     У к а з а н и е. Для решения задачи применить синус-
преобразование Фурье
                                     r Z∞
                                      2
                        Ûs (λ, t) =      U (ξ, t) sin λξdξ,
                                      π
                                            0

тогда для Ûs (λ, t) получим задачу

               ∂ Ûs (λ, t)
                            + a2 λ2 Ûs (λ, t) = 0, Ûs (λ, 0) = ϕ̂s (λ).
                   ∂t
Найдя Ûs (λ, t), с помощью формулы (4) получим U (x, t).
       Ответ:


                                            137

Страницы