Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Т
аким образом,
в данном случае описанный процесс представля-
ет распространение одиночной волны отклонения; после прохождения
такой волны точки струны возвращаются в свое исходное положение
на оси абсцисс. Такой процесс может наблюдаться в очень длинной
струне до тех пор, пока волны, бегущие по струне, не дойдут до ее
концов.
7.7. В момент t = 0 неограниченная струна возмущена началь-
ным отклонением, имеющим форму, изображенную на рис. 3.
Рис. 3
В какой точке x и в какой момент t будет максимальное откло-
нение, и чему оно равно?
У к а з а н и е. Максимальное отклонение будет достигаться
в точке x, в которой встречаются прямая и обратная волны.
О т в е т: t =
α
2
+β
2
−(α
1
+β
1
)
4a
,
x = (α
1
+ β
1
+ α
2
+ β
2
)
/4, h
max
=
(h
1
+ h
2
)/2.
7.8. Бесконечная струна (a = 1), находящаяся в равновесии, в
начальный момент от удара молоточка получила на отрезке [−1, 1]
скорость v
0
= 1. Начертить положения струны для моментов времени
t = 0, 1, 2, 3.
Р е ш е н и е. В данном случае имеем задачу
U
tt
= U
xx
,
½
U(x, 0) = 0
U
t
(x, 0) = ψ(x),
где функция ψ(x) определяется следующим образом
ψ(x) =
(
0, x < −1,
1, −1 ≤ x ≤ 1,
0, x > 1,
то есть ψ(x) имеет в точках x = ±1 разрывы.
40
β
α
1
+β
1
2a
α
1
β
1
α
2
β
2
2a
α
2
β
2
+
      Таким образом, в данном случае описанный процесс представля-
ет распространение одиночной волны отклонения; после прохождения
такой волны точки струны возвращаются в свое исходное положение
на оси абсцисс. Такой процесс может наблюдаться в очень длинной
струне до тех пор, пока волны, бегущие по струне, не дойдут до ее
концов.
      7.7. В момент t = 0 неограниченная струна возмущена началь-
ным отклонением, имеющим форму, изображенную на рис. 3.




       α1 α1 +β1   β1                        α2    α2+ β2   β2
            2a                                       2a

                                    Рис. 3

      В какой точке x и в какой момент t будет максимальное откло-
нение, и чему оно равно?
      У к а з а н и е. Максимальное отклонение будет достигаться
в точке x, в которой встречаются прямая и обратная волны.
      О т в е т: t = α2 +ββ2 −(α
                             4a
                                 1 +β1 )
                                         , x = (α1 + β1 + α2 + β2 )/4, hmax =
(h1 + h2 )/2.
      7.8. Бесконечная струна (a = 1), находящаяся в равновесии, в
начальный момент от удара молоточка получила на отрезке [−1, 1]
скорость v0 = 1. Начертить положения струны для моментов времени
t = 0, 1, 2, 3.
      Р е ш е н и е. В данном случае имеем задачу

                                 Utt = Uxx ,
                           ½
                               U (x, 0) = 0
                               Ut (x, 0) = ψ(x),
где функция ψ(x) определяется следующим образом
                           (
                             0, x < −1,
                    ψ(x) = 1, −1 ≤ x ≤ 1,
                             0, x > 1,
то есть ψ(x) имеет в точках x = ±1 разрывы.

                                     40

Страницы