Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Т
ак к
ак ϕ ≡ 0, то решение задачи представляется в виде
U(x, t) = Ψ(x + t) − Ψ(x − t),
где Ψ(x) =
1
2
R
x
x
0
ψ(α)dα + C
. В на
чальный момент времени график
прямой волны есть −Ψ(x), а график обратной волны есть Ψ(x). Для
нахождения Ψ(x) проинтегрируем ψ(x) на каждом из подынтервалов
и определим постоянные интегрирования из условия непрерывности
искомой функции в точках x = ±1 (см. задачу 7.2). Итак
Ψ(x) =
(
0, x < −1,
(x + 1)/2, −1 ≤ x ≤ 1,
1, x > 1.
Д о м а ш н е е з а д а н и е
7.9. Найти решение уравнения (1) при начальных условиях
½
U(x, 0) = 0,
U
t
(x, 0) = sin x,
− ∞ < x < ∞.
Ответ:
U(x, t) =
1
a
sin x sin at.
7.10. Пу
сть в
задаче (1),(2) начальные условия имеют вид:
½
U(x, 0) = 0,
U
t
(x, 0) = ψ(x),
− ∞ < x < ∞,
где
ψ(x) =
(
0, x < −1,
1, −1 ≤ x ≤ 1,
0, x > 1.
Записать решение задачи, используя формулу Даламбера.
У к а з а н и е. Так как ϕ = 0, то решение задачи
запишется в виде:
U(x, t) =
1
2a
Z
x+at
x−at
ψ(ζ)/dζ =
Ψ(
x + at
) − Ψ(x − at), (7)
где
Ψ(x) =
1
2a
Z
x
x
0
ψ(α)/dα + C
.
Для нах
ождения Ψ(x) проинтегрируем ψ(x) на каждом из подынтер-
валов. Тогда получим:
Ψ(x) =
(
C
1
, x < −1,
x+1
2a
+ C
2
, −1 ≤ x ≤ 1,
C
3
,
x > 1
.
42
,
      Так как ϕ ≡ 0, то решение задачи представляется в виде
                     U (x, t) = Ψ(x + t) − Ψ(x − t),
             Rx
где Ψ(x) = 21 x0 ψ(α)dα + C. В начальный момент времени график
прямой волны есть −Ψ(x), а график обратной волны есть Ψ(x). Для
нахождения Ψ(x) проинтегрируем ψ(x) на каждом из подынтервалов
и определим постоянные интегрирования из условия непрерывности
искомой функции в точках x = ±1 (см. задачу 7.2). Итак ,
                        (
                          0,        x < −1,
                 Ψ(x) = (x + 1)/2, −1 ≤ x ≤ 1,
                          1,        x > 1.
              Д о м а ш н е е з а д а н и е
     7.9. Найти решение уравнения (1) при начальных условиях
              ½
                 U (x, 0) = 0,
                 Ut (x, 0) = sin x,     − ∞ < x < ∞.
Ответ:
                                    1
                        U (x, t) = sin x sin at.
                                    a
      7.10. Пусть в задаче (1),(2) начальные условия имеют вид:
                ½
                  U (x, 0) = 0,
                                        − ∞ < x < ∞,
                  Ut (x, 0) = ψ(x),
где                                   (
                              0, x < −1,
                    ψ(x) = 1, −1 ≤ x ≤ 1,
                              0, x > 1.
Записать решение задачи, используя формулу Даламбера.
     У к а з а н и е. Так как ϕ = 0, то решение задачи
запишется в виде:
                         Z    x+at
                     1
         U (x, t) =                  ψ(ζ)/dζ = Ψ(x + at) − Ψ(x − at),   (7)
                    2a       x−at
где                            Z x
                            1
                   Ψ(x) =          ψ(α)/dα + C.
                           2a x0
Для нахождения Ψ(x) проинтегрируем ψ(x) на каждом из подынтер-
валов. Тогда получим:
                        (
                          C1 ,        x < −1,
                          x+1
                 Ψ(x) =    2a + C2 , −1 ≤ x ≤ 1,
                          C3 ,        x > 1.
                                           42

Страницы