Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Определим
постоянные C
i
, i =
1, 3 из
условия
непрерывности в
точках x = ±1( см. задачу 7.2) Таким образом,
Ψ(x) =
(
0, x ≤ −1,
(x + 1)/(2a), −1 ≤ x ≤ 1,
1/a, x ≥ 1.
Тогда
Ψ(x + at) =
(
0, x + at ≤ −1,
(x + at + 1)/(2a), −1 ≤ x + at ≤ 1,
1/a, x + at ≥ 1.
Ψ(x − at) =
(
0, x − at ≤ −1,
(x − at + 1)/(2a), −1 ≤ x − at ≤ 1,
1/a, x − at ≥ 1.
Разбивая фазовую плоскость (x, t) на области I — V I (рис.1), мы мо-
жем записать значения U(x, t) по формуле (7)
U(x, t) = 1/a − 1/a = 0, (x, t) ∈ I,
U(x, t) = 1/a −
x − at + 1
2a
=
1 − x + at
2a
, (x,
t) ∈ II
.
Найти решения в областях III — V I .
О т в е т:
U(x, t) = 1/a, (x, t) ∈ III, U(x, t) =
x + at + 1
2a
, (x,
t) ∈ IV
.
U(x, t) = 0, (x, t) ∈ V, U(x, t) = t, (x, t) ∈ V I.
7.11. Решим задачу 7.10, используя пространственно-временную
интерпретацию, то есть используя формулу (6). Рассмотрим фазовую
плоскость (x, t) и области I - V I на ней. Итак, на основании формулы
(6) имеем (Рис. 1)
1)U(x, t) =
1
2a
Z
x+at
x−at
ψ(ζ)d ζ =
1
2a
Z
x+at
x−at
0d ζ =
0, (
x, t) ∈ I.
2)U(x, t) =
1
2a
(
Z
1
x−at
1d ζ +
Z
x+at
1
0d ζ)
=
1
2a
Z
1
x−at
1dζ =
1 − x + at
2a
, (x,
t) ∈ II
.
3)U(x, t) =
1
2a
Z
1
−1
1d ζ =
1/a, (x,
t) ∈ III.
Аналогично можно получить решения в областях IV - V I.
43
     Определим постоянные Ci , i = 1, 3 из условия непрерывности в
точках x = ±1( см. задачу 7.2) Таким образом,
                       (
                         0,             x ≤ −1,
               Ψ(x) =    (x +  1)/(2a), −1 ≤ x ≤ 1,
                         1/a,           x ≥ 1.
Тогда

                            (
                                 0,                 x + at ≤ −1,
           Ψ(x + at) =           (x + at + 1)/(2a), −1 ≤ x + at ≤ 1,
                                 1/a,               x + at ≥ 1.

                            (
                                 0,                 x − at ≤ −1,
           Ψ(x − at) =           (x − at + 1)/(2a), −1 ≤ x − at ≤ 1,
                                 1/a,               x − at ≥ 1.
Разбивая фазовую плоскость (x, t) на области I — V I (рис.1), мы мо-
жем записать значения U (x, t) по формуле (7)

                     U (x, t) = 1/a − 1/a = 0,                   (x, t) ∈ I,


                                 x − at + 1 1 − x + at
          U (x, t) = 1/a −                 =           ,                 (x, t) ∈ II.
                                     2a         2a
      Найти решения в областях III — V I .
      О т в е т:
                                               x + at + 1
     U (x, t) = 1/a, (x, t) ∈ III,            U (x, t) =   , (x, t) ∈ IV.
                                                    2a
            U (x, t) = 0, (x, t) ∈ V, U (x, t) = t, (x, t) ∈ V I.
      7.11. Решим задачу 7.10, используя пространственно-временную
интерпретацию, то есть используя формулу (6). Рассмотрим фазовую
плоскость (x, t) и области I - V I на ней. Итак, на основании формулы
(6) имеем (Рис. 1)
                            Z   x+at                  Z   x+at
                        1                         1
          1)U (x, t) =                 ψ(ζ)d ζ =                 0d ζ = 0,     (x, t) ∈ I.
                       2a   x−at                 2a   x−at
                    Z 1           Z x+at            Z 1
                 1                                1              1 − x + at
   2)U (x, t) =    (      1d ζ +         0d ζ) =         1dζ =              , (x, t) ∈ II.
                2a x−at            1             2a x−at             2a
                                     Z 1
                                   1
                     3)U (x, t) =         1d ζ = 1/a,     (x, t) ∈ III.
                                  2a −1

Аналогично можно получить решения в областях IV - V I.


                                              43

Страницы