Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

выражение
аналити-
ческое
,
т.е.
записать
функции, заданной графиком на рис.2.
7.12. Используя формулу Даламбера, записать решение уравне-
ния (1) с начальными условиями вида
½
U(x, 0) = ϕ(x, )
U
t
(x, 0) = 0,
− ∞ < x < ∞,
где ϕ(x) задается на рис. 2.
У к а з а н и е. Для того чтобы записать решение задачи по
формуле (3), необходимо найти функцию ϕ(x)
2. Имея ϕ(x), записать ϕ(x −at) и ϕ(x + at), а затем подставить
в формулу (3).
О т в е т:
ϕ(x) =
0, x ≤ −c,
h(1 + x/c), −c ≤ x ≤ 0,
h(1 − x/c), 0 ≤ x ≤ c,
0, x ≥ c.
(8)
U(x, t) =
0, (x, t) ∈ I,
h(1 +
at−x
c
)/2, (x,
t) ∈ II
,
h(1 +
x−at
c
)/2, (x,
t) ∈ II
I,
0, (x, t) ∈ IV,
h(1 −
x+at
c
)/2, (x,
t) ∈ V,
h(1
+
x+at
c
)/2, (x,
t) ∈ V I
,
0, (x, t) ∈ V II,
h(1 + x/c), (x, t) ∈ V III,
h(1 −
at
c
), (x,
t) ∈ IX
,
h(1 −
x
c
), (x,
t) ∈ X,
г
де области I – X описываются следующим образом
I :
½
x − at ≥ c
x + at ≥ c
II :
½
0 ≤ x − at < c
x + at ≥ c
III :
½
−c ≤ x − at ≤ 0
x + at ≥ c
IV :
½
x − at ≤ −c
x + at ≥ c
V :
½
x − at ≤ −c
0 ≤ x + at ≤ c
V I :
½
x − at ≤ −c
−c ≤ x + at ≤ 0
V II :
½
x − at ≤ −c
x + at ≤ −c
V III :
½
−c ≤ x − at ≤ 0
−c ≤ x + at ≤ 0
IX :
½
−c ≤ x − at ≤ 0
0 ≤ x + at ≤ c
X :
½
0 ≤ x − at ≤ c
0 ≤ x + at ≤ c
и изображены на рис. 4.
44
     7.12. Используя формулу Даламбера, записать решение уравне-
ния (1) с начальными условиями вида
               ½
                 U (x, 0) = ϕ(x, )
                 U (x, 0) = 0,      − ∞ < x < ∞,
                   t

где ϕ(x) задается на рис. 2.
     У к а з а н и е. Для того чтобы записать решение задачи по
формуле (3), необходимо найти функцию ϕ(x), т.е. записать аналити-
ческое выражение функции, заданной графиком на рис.2.
     2. Имея ϕ(x), записать ϕ(x − at) и ϕ(x + at), а затем подставить
в формулу (3).
     О т в е т:
                          
                           0,
                                        x ≤ −c,
                            h(1 + x/c), −c ≤ x ≤ 0,
                  ϕ(x) =    h(1 −  x/c), 0 ≤  x  ≤ c,             (8)
                          
                          
                            0,           x ≥ c.
                         
                         
                          0,              (x, t) ∈ I,
                         
                                at−x
                           h(1 + c )/2, (x, t) ∈ II,
                         
                         
                         
                          h(1 + x−at
                         
                                  c )/2, (x, t) ∈ III,
                         
                          0,              (x, t) ∈ IV,
                         
                                x+at
                           h(1 − c )/2, (x, t) ∈ V,
              U (x, t) =
                         
                          h(1 + x+at
                                   c )/2, (x, t) ∈ V I,
                         
                          0,              (x, t) ∈ V II,
                         
                         
                         
                          h(1 + x/c),     (x, t) ∈ V III,
                         
                         
                         
                                at
                           h(1 − ),        (x, t) ∈ IX,
                         
                          h(1 − xc),
                                c          (x, t) ∈ X,
где области I – X описываются следующим образом

   ½                    ½                       ½
      x − at ≥ c          0 ≤ x − at < c           −c ≤ x − at ≤ 0
 I : x + at ≥ c     II : x + at ≥ c        III : x + at ≥ c
     ½                    ½                       ½
       x − at ≤ −c          x − at ≤ −c             x − at ≤ −c
IV : x + at ≥ c        V : 0 ≤ x + at ≤ c    V I : −c ≤ x + at ≤ 0
              ½                          ½
                 x − at ≤ −c               −c ≤ x − at ≤ 0
        V II : x + at ≤ −c        V III : −c ≤ x + at ≤ 0
              ½                           ½
                 −c ≤ x − at ≤ 0            0 ≤ x − at ≤ c
         IX : 0 ≤ x + at ≤ c          X : 0 ≤ x + at ≤ c

и изображены на рис. 4.



                                    44

Страницы