Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

лой
Даламбера
U(x,
t) = [ϕ(x + at) + ϕ(x −at)]/2 +
1
2a
x+at
Z
x−at
ψ(α)d α (2)
Поло
жим в
(2) x = 0, тогда получим
U(0, t) = [ϕ(at) + ϕ(−at)]/2 +
1
2a
at
Z
−at
ψ(α)d α (3)
Первое
слагаемое
в (3) равно нулю в силу (1). Второе слагаемое также
равно нулю, так как интеграл от нечетной функции в пределах, сим-
метричных относительно начала координат, всегда равен нулю. Итак,
U(0, t) = 0.
8.2. Показать, что в том случае, когда начальные данные в задаче
Коши для бесконечной струны являются четными функциями относи-
тельно x = 0, то U
x
(0, t) = 0 при t > 0.
8.3. Записать решение задачи о колебаниях полубесконечной струны
x ≥ 0 с закрепленным концом x = 0, т.е. следующей задачи
U
tt
= a
2
U
xx
, 0 < x < ∞, t > 0, (4
0
)
½
U(x, 0) = ϕ(x),
U
t
(x, 0) = ψ(x),
0 ≤ x < ∞, (5)
U(0, t) = 0, t > 0. (6)
Р е ш е н и е. Для решения поставленной задачи рассмотрим
вспомогательную задачу для бесконечной струны:
U
tt
= a
2
U
xx
, −∞ < x < ∞, t > 0 (7)
½
U(x, 0) = ϕ
1
(x),
U
t
(x, 0) = ψ
1
(x),
− ∞ < x < ∞, (8)
где
ϕ
1
(x) =
½
ϕ(x), x ≥ 0,
−ϕ(−x), x < 0,
(9)
ψ
1
(x) =
½
ψ(x), x ≥ 0,
−ψ(−x), x < 0,
(10)
то есть ϕ
1
(x) и ψ
1
(x) получаются из ϕ(x) и ψ(x) нечетным продолже-
нием относительно x = 0 на всю действительную ось. Так как (7),(8)
- обычная задача Коши для бесконечной струны, то ее решение запи-
сывается по формуле Даламбера (2):
46
.
.
лой Даламбера
                                                             Z
                                                             x+at
                                                1
        U (x, t) = [ϕ(x + at) + ϕ(x − at)]/2 +                     ψ(α)d α .    (2)
                                               2a
                                                            x−at

Положим в (2) x = 0, тогда получим
                                                      Zat
                                             1
            U (0, t) = [ϕ(at) + ϕ(−at)]/2 +                 ψ(α)d α .           (3)
                                            2a
                                                      −at

Первое слагаемое в (3) равно нулю в силу (1). Второе слагаемое также
равно нулю, так как интеграл от нечетной функции в пределах, сим-
метричных относительно начала координат, всегда равен нулю. Итак,
U (0, t) = 0.
8.2. Показать, что в том случае, когда начальные данные в задаче
Коши для бесконечной струны являются четными функциями относи-
тельно x = 0, то Ux (0, t) = 0 при t > 0.
8.3. Записать решение задачи о колебаниях полубесконечной струны
x ≥ 0 с закрепленным концом x = 0, т.е. следующей задачи
                        Utt = a2 Uxx , 0 < x < ∞, t > 0,                       (40 )
                    ½
                        U (x, 0) = ϕ(x),
                                                0 ≤ x < ∞,                      (5)
                        Ut (x, 0) = ψ(x),

                        U (0, t) = 0, t > 0.                (6)
     Р е ш е н и е. Для решения поставленной задачи рассмотрим
вспомогательную задачу для бесконечной струны:
                Utt = a2 Uxx ,          −∞ < x < ∞,      t>0                    (7)
                ½
                    U (x, 0) = ϕ1 (x),
                    Ut (x, 0) = ψ1 (x),        − ∞ < x < ∞,                     (8)
где                                 ½
                                        ϕ(x),   x ≥ 0,
                         ϕ1 (x) =       −ϕ(−x), x < 0,                          (9)
                                    ½
                                        ψ(x),   x ≥ 0,
                         ψ1 (x) =                                              (10)
                                        −ψ(−x), x < 0,
то есть ϕ1 (x) и ψ1 (x) получаются из ϕ(x) и ψ(x) нечетным продолже-
нием относительно x = 0 на всю действительную ось. Так как (7),(8)
- обычная задача Коши для бесконечной струны, то ее решение запи-
сывается по формуле Даламбера (2):

                                          46

Страницы