Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Р
ешим зада
чу 8.3 при условии, что
Рис.5
8.4. Записать решение задачи о колебаниях полубесконечной
струны x ≥ 0 cо свободным концом x = 0, т.е. задачи
U
tt
= a
2
U
xx
, 0 < x < ∞, t > 0,
½
U(x, 0) = ϕ(x),
U
t
(x, 0) = ψ(x),
0 ≤ x < ∞,
U
x
(0, t) = 0, t > 0.
О т в е т:
U(x, t) =
(ϕ(x + at) + ϕ(x − at))/2 +
1
2a
x+at
R
x−at
ψ(α)d α
, t ≤ x/a,
(
ϕ(x + at) + ϕ(at − x))/2 +
1
2a
[
x+at
R
0
ψ(α)d α +
R
at−x
0
ψ(α)dα],
t >
x/a.
Здесь также имеет место отражение волн от конца струны x = 0, но
без изменения знака.
8.5. Записать решение задачи о колебаниях полубесконечной
струны x ≥ 0 с закрепленным концом x = 0 и со следующими на-
чальными условиями:
½
U(x, 0) = sin x,
U
t
(x, 0) = x.
О т в е т: U(x, t ) = sin x cos at + xt, x ≥ 0, t > 0.
Замечание. Решение задачи можно было записать
сразу по формуле (12).
8.6. ψ(x) ≡ 0, а ϕ(x) зада-
ется на рис. 6.
48
                                          Рис.5

     8.4. Записать решение задачи о колебаниях полубесконечной
струны x ≥ 0 cо свободным концом x = 0, т.е. задачи

                            Utt = a2 Uxx , 0 < x < ∞, t > 0,
                        ½
                            U (x, 0) = ϕ(x),
                            Ut (x, 0) = ψ(x),              0 ≤ x < ∞,

                                  Ux (0, t) = 0, t > 0.
        О т в е т:
             
                                             1
                                                   R
                                                  x+at
             
              (ϕ(x + at) + ϕ(x − at))/2 +   2a          ψ(α)d α,     t ≤ x/a,
                                                  x−at
U (x, t) =
             
                                             1
                                                    R
                                                   x+at               R at−x
              (ϕ(x + at) + ϕ(at − x))/2 +   2a [         ψ(α)d α +    0       ψ(α)dα], t > x/a.
                                                    0

 Здесь также имеет место отражение волн от конца струны x = 0, но
без изменения знака.

     8.5. Записать решение задачи о колебаниях полубесконечной
струны x ≥ 0 с закрепленным концом x = 0 и со следующими на-
чальными условиями:
                       ½
                         U (x, 0) = sin x,
                         Ut (x, 0) = x.

     О т в е т: U (x, t) = sin x cos at + xt, x ≥ 0, t > 0.
     Замечание. Решение задачи можно было записать
сразу по формуле (12).

      8.6. Решим задачу 8.3 при условии, что ψ(x) ≡ 0, а ϕ(x) зада-
ется на рис. 6.



                                             48

Страницы