Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Отметим,
что для
областей I −X используется первая формула
(12), а для областей XI − XX — вторая формула (12)
8.7. (О распространении краевого режима). Найти решение
уравнения
U
tt
= a
2
U
xx
, 0 < x < ∞, t > 0, (14)
удовлетворяющего начальным условиям
½
U(x, 0) = 0,
U
t
(x, 0) = 0,
x ≥ 0, (15)
и граничному условию
U(0, t) = µ(t), t > 0. (16)
Р е ш е н и е. На основании известных результатов (см. занятие
5) общее решение уравнения (14) запишется в виде:
U(x, t) = C
1
(x + at) + C
2
(x − at), (17)
где
1
и C
2
– произвольные функции. Используя условия (15), имеем
½
U(x, 0) = C
1
(x) + C
2
(x) = 0,
U
t
(x, 0) = aC
0
1
(x) − aC
0
2
(x) = 0,
x ≥ 0,
или
½
C
1
(x) + C
2
(x) = 0,
C
1
(x) − C
2
(x) = C,
x ≥ 0.
Отсюда получаем, C
1
(x) = C/2, C
2
(x) = −C/2, если x ≥ 0. Так как
x + at ≥ 0, то C
1
(x + at) = C/2, а C
2
(x −at) = −C/2 только в том
случае, если x − at ≥ 0. Поэтому в силу (17)
U(x, t) = 0, если x − at ≥ 0. (18)
Если x − at < 0, то мы не можем использовать условия (15),
так как они заданы только для неотрицательных значений аргумента.
Поэтому, учитывая, что в этом случае U(x, t) = C/2 + C
2
(x − at) ≡
C(x − at), определим функцию C(x − at) из краевого условия (16):
U(0, t) = C(−at) = µ(t).
Пусть −at = x
1
, тогда t = −x
1
/a и C(x
1
) = µ(−x
1
/a). Отсюда
U(x, t) = C(x−at) = µ(−
x − at
a
)
= µ(
t−x/a), если t−x/a > 0. (19)
Итак, объединяя (18) и (19), получаем
U(x, t) =
½
0, 0 < t ≤ x/a,
µ(t − x/a), x/a < t < ∞.
50
C
.
      Отметим, что для областей I − X используется первая формула
(12), а для областей XI − XX — вторая формула (12) .
      8.7. (О распространении краевого режима). Найти решение
уравнения
                    Utt = a2 Uxx , 0 < x < ∞, t > 0,          (14)
удовлетворяющего начальным условиям
                    ½
                      U (x, 0) = 0,
                      Ut (x, 0) = 0, x ≥ 0,                      (15)

и граничному условию
                          U (0, t) = µ(t), t > 0.                (16)
     Р е ш е н и е. На основании известных результатов (см. занятие
5) общее решение уравнения (14) запишется в виде:
                  U (x, t) = C1 (x + at) + C2 (x − at),          (17)
где C1и C2 – произвольные функции. Используя условия (15), имеем
             ½
               U (x, 0) = C1 (x) + C2 (x) = 0,
                                                    x ≥ 0,
               Ut (x, 0) = aC10 (x) − aC20 (x) = 0,
или                ½
                       C1 (x) + C2 (x) = 0,
                                                x ≥ 0.
                       C1 (x) − C2 (x) = C,
Отсюда получаем, C1 (x) = C/2, C2 (x) = −C/2, если x ≥ 0. Так как
x + at ≥ 0, то C1 (x + at) = C/2, а C2 (x − at) = −C/2 только в том
случае, если x − at ≥ 0. Поэтому в силу (17)
                    U (x, t) = 0, если x − at ≥ 0.               (18)
     Если x − at < 0, то мы не можем использовать условия (15),
так как они заданы только для неотрицательных значений аргумента.
Поэтому, учитывая, что в этом случае U (x, t) = C/2 + C2 (x − at) ≡
C(x − at), определим функцию C(x − at) из краевого условия (16):
                       U (0, t) = C(−at) = µ(t).
Пусть −at = x1 , тогда t = −x1 /a и C(x1 ) = µ(−x1 /a). Отсюда
                            x − at
 U (x, t) = C(x−at) = µ(−          ) = µ(t−x/a), если t−x/a > 0. (19)
                              a
Итак, объединяя (18) и (19), получаем
                        ½
                           0,         0 < t ≤ x/a,
              U (x, t) = µ(t − x/a), x/a < t < ∞.

                                    50

Страницы