Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

на
основании ра
венств (9), (10) функция (11) дает решения исходной
U(x, t) = [ϕ
1
(x − at) + ϕ
1
(x + at)]/2 +
1
2a
Z
x+at
x−at
ψ
1
(α)d α
. (11)
Если рассматривать
теперь функцию (11) только при x ≥ 0, то
задачи, так как
U(x, 0) = ϕ
1
(x) = ϕ(x), x ≥ 0,
U
t
(x, 0) = ψ
1
(x) = ψ(x), x ≥ 0,
U(0, t) = 0, t > 0.
Решение задачи (4
0
),(5), (6) можно записать, возвращаясь к прежним
начальным данным ϕ и ψ :
U(x, t) = [ϕ(x − at) + ϕ(x + at)]/2 +
1
2a
Z
x+at
x−at
ψ(α)d α
,
если x − at ≥ 0, t ≤ x/a
. Если x − at < 0, t > x/a, то в силу (9)
и (10) имеем
U(x, t) = [ϕ(x + at) − ϕ(at − x)]/2 +
1
2a
[
Z
0
x−at
ψ
1
(α)d α +
Z
x+at
0
ψ
1
(α)d α]
=
= [
ϕ(x + at) − ϕ(at − x)]/2 +
1
2a
[
Z
0
x−at
(−ψ(−α)d α +
Z
x+at
0
ψ(α)d α]
=
= [
ϕ(x + at) − ϕ(at − x)]/2 +
1
2a
[
Z
0
at−x
ψ(α)d α +
Z
x+at
0
ψ(α)d α]
=
= [
ϕ(x + at) − ϕ(at − x)]/2 +
1
2a
Z
x+at
at−x
ψ(α)d α
.
Итак,
U(
x, t) =
(ϕ(x − at) + ϕ(x + at))/2 +
1
2a
x+at
R
x−at
ψ(α)d α
, t ≤ x/a,
(
ϕ(x + at) − ϕ(at − x))/2 +
1
2a
x+at
R
at−x
ψ(α)d α
, t
> x/a.
(12)
Как видно из формулы (12), в точку (x, t), при t > x/a, приходят
две волны: обратная волна из точки (x + at, 0) и один раз отраженная
волна (отражение происходит с изменением знака) из точки (at −x, 0)
(совпадающая с прямой волной из фиктивной точки (x − at, 0)), (см.
рис. 5)
47
                                                        Z     x+at
                                                1
    U (x, t) = [ϕ1 (x − at) + ϕ1 (x + at)]/2 +                       ψ1 (α)d α.   (11)
                                               2a           x−at

     Если рассматривать теперь функцию (11) только при x ≥ 0, то
на основании равенств (9), (10) функция (11) дает решения исходной
задачи, так как

                       U (x, 0) = ϕ1 (x) = ϕ(x), x ≥ 0,
                      Ut (x, 0) = ψ1 (x) = ψ(x), x ≥ 0,
                              U (0, t) = 0, t > 0.
Решение задачи (40 ),(5), (6) можно записать, возвращаясь к прежним
начальным данным ϕ и ψ :

                                                            Z   x+at
                                                1
        U (x, t) = [ϕ(x − at) + ϕ(x + at)]/2 +                         ψ(α)d α,
                                               2a              x−at

      если x − at ≥ 0, t ≤ x/a. Если x − at < 0, t > x/a, то в силу (9)
и (10) имеем
                                           Z 0              Z x+at
                                         1
  U (x, t) = [ϕ(x + at) − ϕ(at − x)]/2 + [      ψ1 (α)d α +        ψ1 (α)d α] =
                                        2a x−at              0
                                      Z 0                 Z x+at
                                  1
    = [ϕ(x + at) − ϕ(at − x)]/2 + [         (−ψ(−α)d α +         ψ(α)d α] =
                                 2a x−at                   0
                                        Z 0             Z x+at
                                     1
     = [ϕ(x + at) − ϕ(at − x)]/2 + [          ψ(α)d α +        ψ(α)d α] =
                                    2a at−x              0
                                                 Z x+at
                                               1
               = [ϕ(x + at) − ϕ(at − x)]/2 +            ψ(α)d α.
                                              2a at−x
     Итак,
               
               
                                                       R
                                                       x+at
               
                (ϕ(x − at) + ϕ(x + at))/2 +
                                                   1
                                                  2a           ψ(α)d α, t ≤ x/a,
                                                       x−at
  U (x, t) =                                             R
                                                        x+at
               
                                                  1
               
                (ϕ(x + at) − ϕ(at − x))/2 +      2a           ψ(α)d α, t > x/a.
                                                       at−x
                                                                   (12)
      Как видно из формулы (12), в точку (x, t), при t > x/a, приходят
две волны: обратная волна из точки (x + at, 0) и один раз отраженная
волна (отражение происходит с изменением знака) из точки (at − x, 0)
(совпадающая с прямой волной из фиктивной точки (x − at, 0)), (см.
рис. 5)

                                       47

Страницы