ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1.1. Числовая последовательность и её предел
Определение 1. Если по некоторому закону каждому натуральному
числу n поставлено в соответствие вполне определенное число
n
x , то гово-
рят, что задана числовая последовательность
{
}
n
x :
,......,,,,
321 n
xxxx (1.1)
Другими словами, числовая последовательность – это функция нату-
рального аргумента:
n
x
= f(n).
Числа, составляющие последовательность, называются её
членами,
а
n
x – общим или n-м членом последовательности.
Пример числовой последовательности: 2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...
Для этой последовательности nxxxx
n
2...,,6,4,2
321
=
=
=
=
– общий
член последовательности чётных чисел.
Пример 1. Зная общий член последовательности
2+
=
n
n
x
n
, написать
её первые пять членов.
Решение. Давая n значения 1, 2, 3, 4, 5, получим
7
5
;
6
4
;
5
3
;
4
2
;
3
1
54321
===== xxxxx .
Вообще же последовательность с общим членом
2+
=
n
n
x
n
запишется так:
...,
2
...,,
6
4
,
5
3
,
4
2
,
3
1
+n
n
Отметим, что поскольку
n
x =f(n) есть функция, то есть, вообще говоря,
переменная величина, то для удобства будем в дальнейшем часто называть
функцию
n
x переменной величиной, или просто переменной
n
x .
Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение 2
. Последовательность
{
}
n
x называется ограниченной
сверху (снизу)
, если существует такое вещественное число М (число m), что
каждый элемент
n
x последовательности
{
}
n
x удовлетворяет неравенству
)( mxMx
nn
≥≤ .
При этом число М (число m) называется верхней гранью (нижней гра-
нью) последовательности
{}
n
x , а неравенство )( mxMx
nn
≥
≤
называется ус-
ловием ограниченности
последовательности сверху (снизу).
