Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4
Определение 3. Последовательность называется ограниченной с обеих
сторон, или просто
ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, то
есть, если существуют числа
m и М такие, что любой элемент
n
x этой после-
довательности удовлетворяет неравенствам:
Mxm
n
≤
≤
.
Если последовательность
{
}
n
x
ограничена и М и m – её верхняя и нижняя
грани, то все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству
Ax
n
≤
, (1.2)
где
А – максимальное из двух чисел |М| и |m|. Обратно, если все элементы по-
следовательности
{}
n
x удовлетворяют неравенству (1.2), то выполняются
также неравенства
AxA
n
≤≤− и, следовательно, последовательность
{
}
n
x
ограничена. Таким образом, неравенство (1.2) представляет собой другую
форму условия ограниченности последовательности. Уточним понятие неог-
раниченной последовательности.
Последовательность
{}
n
x
называется неограниченной, если для любо-
го положительного числа
А найдется элемент
n
x этой последовательности,
удовлетворяющий неравенству
Ax
n
> .
Примеры: 1. Последовательность с общим членом
()
n
n
n
x
n
n
3sin
1
2
1
+
−=
ограничена, т. к. при всех n выполняется неравенство
()
2
1
2
3sin
1
2
1 <
+
≤⋅
+
⋅−=
n
n
n
n
n
x
n
n
(A = 2).
2. Последовательность 1, 2, 3, 4, ...,
n, ..., общий член которой
nx
n
=
,
очевидно, неограниченная. В самом деле, каково бы ни было положительное
число
А, среди элементов этой последовательности найдутся элементы, пре-
восходящие
А.
Монотонные последовательности
Определение 4.
Последовательность
{
}
n
x называется неубывающей
(
невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательно-
сти не меньше (не больше) предыдущего, то есть для всех номеров
n спра-
ведливо неравенство )(
11 ++
≥≤
nnnn
xxxx .
Неубывающие и невозрастающие последовательности объединяются
общим наименованием
монотонные последовательности. Если элементы
монотонной последовательности
{
}
n
x для всех номеров n удовлетворяют не-
равенству )(
11 ++
><
nnnn
xxxx , то последовательность
{
}
n
x называется воз-
растающей
(убывающей). Возрастающие и убывающие последовательности
называются также
строго монотонными.
Пример 2. Последовательность нечётных чисел 1, 3, 5, 7, ..., 2n–1, ...,
где
12 −= nx
n
, – монотонно возрастающая.

Страницы