Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

5
Действительно,
[
]
2)12(1)1(2
1
=
−
−
−
+
=−
+
nnxx
nn
, так что 0
1
>−
+ nn
xx ,
т. е.
nn
xx >
+1
при всех n.
Предел последовательности
Определим одно из важнейших понятий математического анализа –
предел последовательности, или, что то же самое, предел переменной вели-
чины
n
x , пробегающей последовательность ...,...,,,
21 n
xxx
Определение 5. Постоянное число а называется пределом последова-
тельности
...,...,,,
21 n
xxx
или пределом переменной
n
x
, если для любого
сколь угодно малого положительного числа
ε можно указать такое натураль-
ное число
N, что для всех членов последовательности с номерами n>N вы-
полняется неравенство
<
−
ax
n
ε. (1.3)
Тот факт, что последовательность (1.1) имеет своим пределом число
а, обо-
значается так:
ax
n
n
=
∞→
lim
или
∞→
→
n
n
ax
;
(
li
m
есть сокращённое обозначение латинского слова limes, означающего
«предел»).
Последовательность, имеющую пределом число
а, иначе называют по-
следовательностью,
сходящейся к а. Последовательность, не имеющая пре-
дела, называется
расходящейся.
Замечание. Величина N зависит от ε, которое мы выбираем произволь-
ным образом
(N=N(ε)). Чем меньше ε, тем N, вообще говоря, будет больше.
Исключением является случай, когда последовательность состоит из одина-
ковых членов.
Пример 3. Доказать, что последовательность LL ,
1
,,
4
3
,
3
2
,
2
1
+n
n
с общим членом
1+
=
n
n
x
n
имеет предел, равный 1.
Решение. Выберем произвольно положительное число ε и покажем,
что для него можно найти такое натуральное число
N, что для всех номеров
n > N будет выполняться неравенство (1.3), в котором надо взять а =1;
1+
=
n
n
x
n
, то есть неравенство
<
+
−
1
1
n
n
ε
. (1.4)
После приведения к общему знаменателю в левой части неравенства
(1.4) получим

Страницы