Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

6
<
+
−+
1
1
n
nn
ε
или <
+
1
1
n
ε
.
Но если
<+ )1/(1 n ε, то и
<
+
)1/(1 n ε. Из последнего неравенства следу-
ет, что
>+1n 1/ε, >n 1/ε–1. Следовательно, за N можно взять наибольшее це-
лое число, содержащееся в (1
/ε – 1), то есть Е(1/ε – 1). Тогда неравенство (1.4)
будет выполняться при всех
n >N. Если окажется, что Е(1/ε – 1) ≤0, то N
можно взять равным 1. Поскольку
ε брали произвольно, то этим и доказано,
что 1 есть предел последовательности с общим членом
)1/( += nnx
n
. В част-
ности, если
ε = 0,01, то N = Е
(
)
101,0/1
−
=Е(100 – 1)=99; если ε=1/2, то
N=Е
()
15,0/1 − =1 и т. д. Выбранные таким образом N для различных значений
ε будут наименьшими из возможных.
Геометрическая интерпретация
предела числовой последовательности
Числовую последовательность (1.1) можно рассматривать как последова-
тельность точек прямой. Точно так же и о пределе можно говорить как о точке на
прямой. Так как неравенство
ax
n
−
< ε равносильно неравенству – ε <
ax
n
−
< ε,
которое, в свою очередь, равносильно такому
a – ε <
n
x < a
+
ε, то определение
предела числовой последовательности можно сформулировать и так.
Определение 6. Точка а называется пределом последовательности то-
чек (1.1), если, какую бы окрестность (
a – ε, a
+
ε) точки а мы ни задали,
найдётся такое число
N, что все точки последовательности (1.1) с номерами
n > N попадут в заданную окрестность.
Изобразим числа
a , a – ε, a +
ε и значения переменной
n
x точками на
числовой оси (рис. 1). Выполнение неравенства (1.3) при условии
n > N гео-
метрически означает, что все точки
n
x , начиная с точки
1+N
x , то есть с точки,
индекс которой превосходит некоторое натуральное число
N, будут непре-
менно лежать в
ε-окрестности точки а. Вне этой окрестности, если и будут
находиться точки
n
x , то их окажется лишь конечное число.
Рис. 1
Признак сходимости монотонной последовательности
Теорема 1.
Всякая невозрастающая (неубывающая) ограниченная снизу
(сверху) последовательность
{}
n
x или переменная величина
n
x имеет предел.

Страницы