Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

7
1.2. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Определение 1.
Переменная величина
n
x называется бесконечно ма-
лой
, если она имеет предел, равный нулю.
Следуя определению предела, можно сказать, что
n
x будет бесконечно
малой, если для любого сколь угодно малого
ε > 0 найдется такое N, что для
всех
n > N выполняется неравенство
<
n
x ε. Иначе говоря, бесконечно малой
называется такая переменная величина
n
x
, которая при своём изменении, на-
чиная с некоторого номера
n, становится и остаётся по абсолютной величине
меньше любого наперёд заданного числа
ε > 0.
Примерами бесконечно малой могут служить переменные
n
n
n
nnn
qx
n
x
n
x
n
x =
−
=−== ,
)1(
,
1
,
1
при q < 1 и другие.
Пример 1. Доказать, что
(
)
n
x
n
n
1−
= есть бесконечно малая.
Решение.
Возьмем произвольное ε > 0. Из неравенства
nn
x
n
n
1)1(
=
−
=
<ε полу-
чаем n
>1/ε. Если взять N = E(1/ε), то для n > N будет
n
x <ε. При
ε =
1
10
получим N = E(10) = 10, при ε = 15
/
4 получим N = E (4
/
15 ) = 3 и т. д.
А это и значит, что
()
n
x
n
n
1−
= есть бесконечно малая.
Замечание 1. Нельзя смешивать постоянное очень малое число с бес-
конечно малой величиной. Единственным числом, которое рассматривается в
качестве бесконечно малой величины, служит нуль (в силу того, что предел
постоянной равен ей самой).
Определение 2. Переменная величина
n
x называется бесконечно
большой
величиной, если для любого наперед заданного сколь угодно боль-
шого числа M
> 0 можно указать такое натуральное число N, что для всех но-
меров n
> N выполняется неравенство
n
x > М. Иначе говоря, переменная ве-
личина
n
x называется бесконечно большой, если, начиная с некоторого но-
мера, она становится и остаётся при всех последующих номерах по абсолют-
ной величине больше любого наперед заданного положительного числа М.
О бесконечно большой переменной
n
x говорят, что она стремится к
бесконечности или имеет
бесконечный предел, и пишут:
∞→
∞→
n
n
x
или
∞
=
∞→
n
n
xlim
.

Страницы