Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

51
функцию плюс произведение первой функции на производную от второй
функции, то есть, если
Y = uv, то y' = u'v + uv'.
(2.4)
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак произ-
водной, то есть, если y = cu
, где c = const, а u – дифференцируемая функция,
то y
′
=cu
′
.
Следствие 2.
c
u
c
u
′
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
(если u – функция, имеющая производную,
а с – постоянная).
Замечание 1. Теорема 3 может быть распространена на случай произ-
ведения любого конечного числа сомножителей. Например, для трех функ-
ций имеем
(u v w)
′
= u
′
vw + v
′
uw + w
′
uv.
Теорема 4. Производная дроби (то есть частного от деления двух
функций) равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя дан-
ной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на
производную числителя и произведением числителя на производную знаме-
нателя, то есть если
v
u
y = (v≠0), то
.
2
v
vuvu
y
′
−
′
=
′
(2.5)
Следствие. Пусть в (2.5) u=c (c=const). Тогда имеем
2
'
v
cvc
v
c
''
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
v
или (так как c'=0):
v
v
c
v
c
′
−=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
. (2.6)
Производная обратной функции
Теорема 5.
Если монотонная и непрерывная на данном промежутке
функция
y = f(x) имеет в точке х
0
этого промежутка производную, отличную
от нуля
f '(x
0
)≠0, то и обратная к f(x) функция х = ϕ(y), построенная на соот-
ветствующем промежутке, имеет в соответствующей точке
y
0
(y
0
=f(x
0
)) про-
изводную, причем
.
)(
1
)(
0
0
xf
y
′
=ϕ
′
Пример 1. Найти производную функции y = arcsin x.
Решение. Функция y = arcsin x на (-1; +1) будет обратной для функции
x = sin y, рассматриваемой на
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+
π
−
2
;
2
. На этом промежутке
0cos ≠= y
dy
dx
(см. пример 2 п. 2.1.1). Следовательно,

Страницы