Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

49
x
y
x
xfxxf
Δ
Δ
=
Δ
−Δ+
=β
)()(
tg
00
или
x
y
Δ
Δ
=β arctg .
Рис. 19
Если Δх→0, то
1)
точка N будет неограниченно приближаться к точке М, двигаясь
вдоль по кривой y = f(x);
2)
секущая MN будет поворачиваться вокруг точки М;
3)
соответственно будет изменяться и угол β.
Так как по условию производная f ′(x
0
) существует, то, пользуясь не-
прерывностью функции arctg x, можем записать
()
0
00
arctglimacrtarctglim xf
x
y
g
x
y
xx
′
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
Δ
=
Δ
Δ
→Δ→Δ
.
Но тогда существует и предел
(
)
0
arctlim
0
xfg
x
′
=
β
→Δ
, то есть существует
предельное значение угла β, которое мы обозначим через α. А это значит, что
существует предельное положение MP секущей MN, то есть прямая MP явля-
ется касательной к кривой y = f(x) в точке М и arctg f ′(x
0
)=α или f ′(x
0
)= tg α.
Таким образом,
производная функции f(x) в данной точке х
0
геомет-
рически представляет собой угловой коэффициент касательной к кривой
y = f(x) в точке (х
0
, f(х
0
)), то есть тангенс угла между касательной и поло-
жительным направлением оси ОХ.
Если в некоторой точке производная обращается в бесконечность, то
это значит, что касательная к кривой в этой точке параллельна оси ординат.
Если же производная в точке равна нулю, то касательная к кривой в этой
точке параллельна оси абсцисс (см. рис. 20).

Страницы