Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

47
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
Δ
=−Δ+=Δ
2
cos
2
sin2sinsin
x
x
x
xxxy .
3.
Составим отношение
x
y
Δ
Δ
:
(
)
.
2/cos)2/sin(2
x
xxx
x
y
Δ
Δ
+
Δ
=
Δ
Δ
4.
Вычислим предел этого отношения при Δx→0:
()
()
,cos2/cos
)2/(
)2/sin(
lim
)2/(cos)2/sin(2
limlim
000
xxx
x
x
x
xxx
x
y
xxx
=Δ+
Δ
Δ
=
Δ
Δ
+
Δ
=
Δ
Δ
→Δ→Δ→Δ
так как
1
)2/(
)2/sin(
lim
0
=
Δ
Δ
→Δ
x
x
x
, и, в силу непрерывности функции, cos x:
(
)
.cos2/coslim
0
xxx
x
=
Δ
+
→Δ
Связь между дифференцируемостью
и непрерывностью функции
Теорема 1.
Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке
x=x
0
, то она в этой точке непрерывна.
Замечание 2. Обратное заключение неверно, то есть из того, что в ка-
кой-нибудь точке x = x
0
функция y = f(x) непрерывна, еще не следует, что в
этой точке она дифференцируема: функция f(x) может и не иметь производ-
ной в точке x
0
.
Пример 3. Дана функция
⎩
⎨
⎧
<−
≥
==
.0при
,0при
)(
xx
xx
xxf (рис. 18).
Рис. 18
Доказать, что эта функция непрерывна в точке x = 0, но не имеет произ-
водной в этой точке.
Решение.
1) В точке х = 0 эта функция непрерывна, так как

Страницы