Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

46
f(x), или просто
производной от этой функции. Функция, имеющая конечную
производную, называется
дифференцируемой, а действие нахождения про-
изводных называется
дифференцированием.
Производная обозначается одним из символов: f
′
(x), y
′
, y
′
x
, dy/dx, а ее
значение при x = x
0
обозначается
()() ()
.,,,,
0
0000
xx
x
dx
dy
yxyxyxf
=
′′′′
Таким образом, по определению
()
(
)
(
)
.
Δ
Δ
lim
0
x
xfxxf
xf
Δx
−
+
=
′
→
(2.2)
В случае, когда передел (2.2) равен бесконечности определенного знака
говорят, что существует
бесконечная производная.
Замечание 1. Из определения производной функции вытекает и способ
ее вычисления. Чтобы вычислить производную функции y = f(x) в некоторой
точке x
0
, необходимо:
1)
значению аргумента x=x
0
дать некоторое приращение Δx и получить
новое значение аргумента x= x
0
+ Δx;
2)
найти соответствующее приращение функции Δy=f (x
0
+ Δx) – f(x
0
);
3)
составить отношение
x
y
Δ
Δ
;
3) вычислить предел этого отношения при Δx→0, если он существует.
Пример 1. Пользуясь определением, найти производную функции
3
xy = в точке x
0
=1.
Решение.
1) Дадим значению аргумента x
0
=1 приращение Δx. Новым значением
аргумента будет 1 + Δx.
2) Найдем соответствующее приращение функции:
(
)
(
)
.1111
3
−Δ+=−Δ+=Δ xfxfy
3) Составим отношение
x
y
Δ
Δ
: .
11
3
x
x
x
y
Δ
−Δ+
=
Δ
Δ
4) Вычислим предел этого отношения при Δx→0:
.
3
111
limlim
3
00
=
Δ
−Δ+
=
Δ
Δ
→Δ→Δ
x
x
x
y
xx
Здесь мы воспользовались пределом (1.17), рассмотренным в п. 1.7.
Пример 2. Пользуясь определением производной, найти производную
функции y = sin x в некоторой фиксированной точке х.
Решение.
1. Дадим некоторому значению х приращение Δx.
2.
Найдем приращение функции:

Страницы