Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

44
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
2.1. Производная и дифференциал
2.1.1. Определение производной, ее механический
и геометрический смысл
Связь между дифференцируемостью
и непрерывностью функции
К понятию производной приводит ряд задач из различных областей
знания [1–4]. Рассмотрим одну из них.
Задача о скорости прямолинейного движения
Пусть материальная точка совершает прямолинейное неравномерное
движение по закону
s = f(t), где t – время, а s – путь, проходимый точкой за
время t. Пусть t
0
– фиксированный момент времени; s
0
=f(t
0
) – путь, пройден-
ный точкой к моменту t
0
. Поставим задачу: определить скорость v
0
матери-
альной точки в момент t
0
. Пусть Δt – бесконечно малый промежуток времени.
Рассмотрим момент времени t
0
+ Δt. За время t
0
+ Δt точка прошла путь
Δs=s – s
0
= f (t
0
+ Δt) – f (t
0
) (рис. 17).
Рис. 17
Средняя скорость движения v
ср
на промежутке времени [t
0
, t
0
+ Δt] оп-
ределяется отношением:
(
)
(
)
.
00
cp
t
tfttf
t
s
v
Δ
−
Δ
+
=
Δ
Δ
=
Скоростью v
0
в момент времени t
0
называется предел (если он сущест-
вует):
(
)()
t
tfttf
t
s
v
tt
Δ
−
Δ
+
=
Δ
Δ
=
→Δ→Δ
00
0
00
limlim
. (2.1)
Таким образом, чтобы найти скорость v
0
в момент времени t
0
, нужно найти
предел (2.1) отношения приращения функции Δs к приращению аргумента Δt
при Δt→0.

Страницы