Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

45
Понятие скорости, заимствованное из механики, успешно применяется
и к исследованию поведения произвольной функции, приобретая при этом
более общий характер.
Пусть на промежутке Х определена некоторая функция y=f(x). Возьмем
какое-нибудь значение x
0
из этого промежутка и придадим ему приращение
Δx. Это вызовет соответствующее приращение функции Δy=f(x
0
+ Δx) – f(x).
(см. рис. 9).
Заметим, что приращение аргумента может быть выбрано произвольно
как по знаку, так и по величине, однако с таким расчетом, чтобы значение
x
0
+Δx не выходило за границы промежутка Х. В противном случае f (x
0
+ Δx)
теряет смысл, так как вне Х функция не определена.
Приращение Δy есть величина, на которую изменилось значение функ-
ции y=f(x) при изменении значения аргумента от x
0
до x
0
+ Δx.
Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
(
)
(
)
.
00
x
xfxxf
x
y
Δ
−
Δ
+
=
Δ
Δ
Определение 1. Средней скоростью изменения функции y=f(x) на
отрезке [x
0
, x
0
+ Δx] называется отношение приращения функции Δy к прира-
щению Δx независимой переменной
(
)
(
)
.
00
cp
x
xfxxf
x
y
v
Δ
−
Δ
+
=
Δ
Δ
=
Определение 2. Скоростью изменения функции y=f(x) при фиксиро-
ванном значении x= x
0
независимого переменного называют предел, к кото-
рому стремится средняя скорость изменения функции при стремлении к ну-
лю Δx:
.limlim
00
cp
x
y
vv
xx
Δ
Δ
==
→Δ→Δ
Определяя скорость изменения функции, мы уже подошли, по сущест-
ву, к понятию производной. Дадим определение производной.
Определение 3. Производной функции y=f(x) в точке x
0
называется
предел отношения приращения функции Δy в этой точке к соответствующему
приращению аргумента Δx, когда Δx стремится к нулю произвольным обра-
зом, то есть
(
)
(
)
.limlim
00
0x0x
x
xfxxf
x
y
Δ
−
Δ
+
=
Δ
Δ
→Δ→Δ
Если такого предела не существует, то говорят, что данная функция в
точке x
0
производной не имеет.
Таким образом, производная при данном значении x=x
0
– если сущест-
вует – есть определенное число. Если же производная существует во всем
промежутке Х, то есть при каждом значении x∈X, то она является функцией
от х. Эта функция называется
производной функцией от данной функции

Страницы