Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

42
Рис. 15
II. Точки разрыва второго рода.
Определение 9.
Точка
0
x называется точкой разрыва второго рода
функции
()
xf
, если хотя бы один из односторонних пределов
()
0
0
−
xf
и
()
0
0
+xf не существует или бесконечен.
Пример 8. Дана функция
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+∞<≤−
−
<
<
∞
+
=
.1при
1
,1- при52
x
x
xx
xf
Найти точки разрыва и скачок функции в каждой точке разрыва.
Решение. Неэлементарная функция
(
)
xf определена на всей числовой
оси, кроме точки 0
=
x
. Это значит, что в точке 0
=
x
функция разрывна. Ис-
следуем эту точку:
(
)
−
∞
=
=
−→−→
)/1(limlim
00
xxf
xx
,
(
)
+
∞
=
=
+→+→
)/1(limlim
00
xxf
xx
.
Следовательно, 0
=
x
– точка разрыва второго рода (бесконечного).
Исследуем далее точку 1
−
=
x
. Поскольку функция
()
xf
неэлементар-
ная, она может иметь разрыв в этой точке, где меняется её аналитическое вы-
ражение:
(
)
(
)
352limlim
0101
=
+
=
−−→−−→
xxf
xx
,
(
)
1)/1(limlim
0101
−
=
=
+−→+−→
xxf
xx
.
Найденные односторонние пределы функции конечные, но различные.
Поэтому в точке 1
−=
x
функция имеет неустранимый разрыв первого рода;
её конечный скачок в этой точке равен
(
)
(
)
4limlim
0101
−
=
−
−−→+−→
xfxf
xx
.

Страницы