Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

40
Теорема 5. Функция, непрерывная
на сегменте
[
]
ba,, принимает, по крайней
мере, в одной его точке, наибольшее
значение и, по крайней мере в одной его
точке – наименьшее значение (рис. 11).
Заметим, что наибольшим (наи-
меньшим) значением функции
(
)
xf на
сегменте
[
]
ba, называется такое значе-
ние
(
)
0
xf , что для всех точек
[
]
bax ,
∈
выполняется неравенство
()
(
)
xfxf ≥
0
(
)
(
)
[
]
xfxf
≤
0
.
Теорема 6. Функция, непрерывная
на сегменте
[
]
ba,, принимающая на кон-
цах этого сегмента значения противопо-
ложных знаков, по крайней мере в одной
внутренней точке сегмента
[]
ba,, обра-
щается в нуль (рис. 12).
Теорема 7. Функция, непрерывная
на сегменте
[
]
ba,, принимает в этом сег-
менте все промежуточные значения ме-
жду своими наибольшим и наименьшим
значениями соответственно
M
и m .
Точки разрыва и их классификация
Определение 7.
Если в какой-либо точке
0
x функция не является не-
прерывной, то точка
0
x
называется точкой разрыва функции, а сама функ-
ция –
разрывной в этой точке.
При этом предполагается, что функция
(
)
xf
определена в некоторой
окрестности точке
0
x ; в самой же точке
0
x функция может быть как опреде-
лена, так и не определена.
Различают два вида точек разрыва – точки разрыва первого рода и точ-
ки разрыва второго рода.
I. Точки разрыва первого рода.
Определение 8.
Если в точке разрыва
0
x существуют конечные одно-
сторонние пределы функции, то разрыв функции называется
разрывом пер-
вого рода
.
Если при этом
()
(
)
(
)
000
00 xfxfxf
≠
+
=
− , то
0
x – точка устранимо-
го разрыва
(рис. 13); если же
(
)
(
)
00
00
+
≠
−
xfxf , то
0
x – точка неустрани-
Рис. 12
Рис. 11

Страницы