Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

38
Если функция непрерывна в каждой внутренней точке сегмента
[
]
ba, и,
кроме того, непрерывна справа в точке a и слева в точке b , то говорят, что
она непрерывна на сегменте
[]
ba,.
Действия над непрерывными функциями.
Непрерывность элементарных функций
Имеют место следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть заданные на одном и том же множестве функции
()
xf и
()
xg непрерывны в точке
0
x . Тогда функции
(
)()
xgxf + ,
()
(
)
xgxf
−
,
() ()
xgxf ⋅ и
()
()
xg
xf
непрерывны в точке
0
x (частное при условии
()
0
0
≠
xg ).
Замечание 3. Теорема 1 справедлива для любого числа слагаемых или
сомножителей.
Теорема 2. Если
()
xu ϕ= непрерывна в точке
0
xx
=
и
()
uf
непрерыв-
на в точке
()
00
xu ϕ= , то сложная функция
(
)
[
]
xf
ϕ
непрерывна в точке
0
x .
Используя эти теоремы, можно доказать следующую теорему.
Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке,
в которой она определена.
Этот вопрос подробно изложен в [2–4].
Пример 3. Найти x
x
sinlim
4
π
→
.
Решение. Функция
x
y sin= непрерывна в любой точке и потому
(
)
2/24/sinsinlim
4
=π=
π
→
x
x
.
Пример 4. Доказать равенство
(
)
e
x
x
x
a
a
log
1log
lim
0
=
+
→
. (1.14)
Решение. Действительно,
()
x
x
a
x
+
→
1log
lim
0
=
()
x
x
a
x
+
→
1log
1
lim
0
=
()
x
a
x
x
1
0
1loglim +
→
=
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
→
x
x
a
x
1
0
1limlog = e
a
log .
В силу непрерывности логарифмической функции мы перешли к пре-
делу под знаком логарифма. (Смотри формулу 1.13). В частности, при
ae
=
имеем
(
)
1
1ln
lim
0
=
+
→
x
x
x
, (1.15)
то есть
()
x+1ln ∼
x
.

Страницы