Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

37
Рис. 9
Определение 4. Функция
(
)
xfy
=
называется непрерывной в точке
0
x ,
если эта функция определена в какой-нибудь окрестности точки
0
x и если
0lim
0
=Δ
→Δ
y
x
, то есть если бесконечно малому приращению аргумента соответ-
ствует бесконечно малое приращение функции.
Пример 2. Пользуясь определением 4 непрерывности функции, дока-
зать, что функция
()
265
2
+−= xxxf непрерывна в произвольной точке
()
+∞∞−∈ ,x .
Решение.
()
(
)
(
)
265
2
+Δ+−Δ+=Δ+ xxxxxxf ;
()()
(
)
22
56105610 xxxxxxxxfxxfy Δ+Δ−=Δ+Δ−Δ=−Δ+=Δ .
Найдем теперь предел y
Δ при 0→
Δ
x
:
(
)
[
]
05610limlim
2
00
=Δ+Δ−=Δ
→Δ→Δ
xxxy
xx
при любом значении
x
, что и доказывает непрерывность заданной функции
при любом значении
()
+∞∞−∈ ,x .
Иногда приходится пользоваться понятием
односторонней непрерыв-
ности
.
Определение 5. Функция
(
)
xf
называется непрерывной в точке
0
x
справа (слева)
, если
()
(
)
0
0
0
lim xfxf
xx
=
+→
(
(
)
(
)
0
0
0
lim xfxf
xx
=
−→
).
Замечание 2. Если функция
(
)
xf непрерывна в точке
0
x и слева и
справа, то она непрерывна в этой точке.
Определение 6. Функция
(
)
xf называется непрерывной на множест-
ве
{}
xD = , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Страницы