Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

36
вить
0
x и подсчитать соответствующее значение
(
)
0
xf . Это и будет искомый
предел.
Соответственно двум определениям предела функции можно дать два
определения непрерывности функции: «на языке последовательностей» и «на
языке
ε–δ».
Определение 2. Функция
(
)
xf называется непрерывной в точке
0
x
(предельной для области определения функции), если какова бы ни была по-
следовательность значений
x
:
...,,,...,,
21 n
xxx
из области определения
()
xf , имеющая пределом
0
x (
0
lim xx
n
n
=
∞→
), соответ-
ствующая последовательность значений функции
(
)
xf :
()
(
)
(
)
,......,,,
21 n
xfxfxf ,
сходится, и притом к
()
af (то есть
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∞→∞→
n
n
n
n
xfxf limlim ).
Эту форму определения непрерывности функции будем называть
опре-
делением непрерывности функции на «языке последовательностей»
или
определением непрерывности по Гейне.
Определение 3. Функция
(
)
xf называется непрерывной в точке
0
x ,
предельной для области определения этой функции, если для любого наперед
заданного числа
ε>0 существует такое δ>0, что для всех значений
x
из облас-
ти определения
()
xf , для которых
0
xx
−
<δ, выполняется неравенство
() ( )
0
xfxf −< ε.
Определение 3 называется
определением непрерывности на «языке
ε–δ», или определением по Коши.
Пример 1. Используя определение непрерывности на «языке ε-δ» дока-
зать, что функция
()
74 −= xxf непрерывна при 3
=
x
.
Решение. Возьмем любое ε>0. Задача состоит в том, чтобы по этому ε
найти такое
δ>0, при котором из неравенства 3
−
x <δ следовало бы неравен-
ство
()
574 −−x <ε (поскольку
(
)
(
)
53
0
=
=
fxf ). Последнее неравенство пре-
образуется к виду
34 −x <ε, или
4
3
ε
<−x
. Отсюда видно, что, выбрав δ=
4
ε
,
мы получим, что при 3
0
=x неравенство
0
xx
−
<δ влечёт за собой неравенст-
во
() ( )
0
xfxf −<ε, так что действительно
(
)
xf непрерывна в точке 3
0
=
= xx .
Обозначим через
0
xxx
−
=Δ – приращение аргумента. Приращением
функции
(
)
xfy = в данной точке
0
x называется разность
()
(
)
00
xfxxfy −Δ+=Δ (см. рис. 9).

Страницы