Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

34
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций [ 8-9 ]
(
()
xα – бесконечно малая при 0→
x
)
1)
(
)
xαsin ∼
(
)
xα ;
2)
(
)
xαtg
∼
(
)
xα
;
3)
(
)
xα− cos1 ∼
()
[]
2
2
xα
;
4)
(
)
xαarcsin ∼
(
)
xα ;
5)
(
)
xαarctg ∼
(
)
xα ;
6)
[
]
[
]
xα+1ln ∼
(
)
xα
;
7)
()
1−
α x
a ∼
(
)
ax ln⋅α
(
)
0a > , в частности
(
)
1−
α
e
x
∼
(
)
xα ;
8)
()
[]
11 −α+
P
x ∼
(
)
xPα
, в частности,
(
)
11 −α+
n
x ∼
()
n
x
α
.
Существует простой признак эквивалентности двух бесконечно малых.
Теорема 2. Для того, чтобы бесконечно малые
α
и β были эквива-
лентны, необходимо и достаточно, чтобы их разность
β
–α являлась беско-
нечно малой высшего порядка, чем каждая из бесконечно малых
α и β.
Следствие. Если при a
x
→ бесконечно малая
α
низшего порядка ма-
лости, чем каждая из бесконечно малых ,,...,,
21 n
β
β
β
то бесконечно малая
n
β
+
+β+β+α=
γ
...
21
, представляющая собой сумму бесконечно малых
n
βββα ,...,,,
21
, эквивалентна бесконечно малой
α
.
Это следствие бывает полезно при вычислении предела дроби, числи-
тель или знаменатель которой есть сумма бесконечно малых. Если в сумме,
стоящей в числителе (знаменателе), имеется
одно слагаемое, представляющее
бесконечно малую низшего порядка, то можно отбросить под знаком предела
все остальные слагаемые, ибо сумма эквивалентна только этому одному сла-
гаемому.
Пример 8. Найти предел
323
423
0
5sin6tg
3sinsin2cos1
lim
xxxx
xxxxx
x
−+−
+−−+−
→
.
Решение. Так как при 0→
x
x
cos1
−
∼
2
2
/
1
,
x
sin ∼
x
,
x
tg ∼
x
, то в си-
лу следствия имеем:
423
3sinsin2cos1
+−
−
+
−
∼ x2 ;
323
5sin6tg xxxx −+− ∼
x
.
Поэтому по теореме 1 получаем, что
2
2
lim
5sin6tg
3sinsin2cos1
lim
0
323
423
0
==
−+−
+−−+−
→→
x
x
xxxx
xxxxx
xx
.

Страницы