Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

33
Пример 5. Если
()
xx =β ,
(
)
3
xx =α , то при 0→
x
бесконечно малая
α
является бесконечно малой третьего порядка по отношению к бесконечно
малой
β , так как
()
1limlim
3
3
0
3
0
==
β
α
→→
x
x
xx
.
Желая сравнить скорость стремления к нулю двух бесконечно малых
α
и
β , мы должны составить их отношение
β
α
/
(или
α
β
/
) и заняться отыска-
нием его предела. Но может оказаться, что такого предела вовсе нет (ни ко-
нечного, ни бесконечного).
Определение 5. Если отношение
β
α
/
при a
x
→ не стремится ни к ка-
кому пределу: ни к конечному, ни к бесконечному, то говорят, что
бесконеч-
но малые
α и β несравнимы между собой.
Пример 6. Функции
()
)/1sin(
2
xxx =α
и
(
)
2
xx =β – бесконечно малые
при 0
→
x
несравнимы между собой, так как их отношение
()
()
x
x
xx
x
x 1
sin
)/1sin(
2
2
==
β
α
при 0→
x
не стремится ни к конечному пределу, ни
к бесконечности.
Теорема 1. (О замене бесконечно малых функций им эквивалентными).
Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если
каждую из них или какую-либо одну заменить эквивалентными им, то есть
если
()
xα и
()
xβ – бесконечно малые при a
x
→ и если
()
xα∼
()
x
1
α и
()
xβ∼
()
x
1
β
, то
()
()
(
)
()
(
)
()
(
)
()
x
x
x
x
x
x
x
x
axaxaxax
1
1
1
1
limlimlimlim
β
α
=
β
α
=
β
α
=
β
α
→→→→
.
Используя теорему 1, легко показать, что если
(
)
x
α
,
()
x
β
и
()
xγ – бес-
конечно малые функции при a
x
→ и если
(
)
x
α
∼
(
)
xγ ,
()
xβ∼
()
xγ , то
()
xα∼
()
xβ .
Пример 7. Найти
x
x
x
2sin
lim
0→
.
Решение. Так как
x
2sin ∼
x
2, то имеем
02lim
2
lim
2sin
lim
000
===
→→→
x
x
x
x
x
xxx
.
Таким образом, теорема 1 в ряде случаев облегчает задачу раскрытия
неопределенности вида
0
0
.

Страницы